Question

13．如圖，已知在平面直角坐標(biāo)系中，點B在x軸上，半徑為3的⊙B與y軸相切，直線l過點A（-2，0），且和⊙B相切，與y軸相交于點C．若點E在直線l上，且以A為圓心，AE為半徑的圓與⊙B相切，求點E的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 分兩種情形討論即可①當(dāng)⊙A與⊙B內(nèi)切時，直線l與⊙A交于點E₁、E₂，作E₁M⊥x軸于M．設(shè)⊙B與直線l相切于點D，連接BD，則BD⊥直線l，則AE₁=8．
②當(dāng)⊙A與⊙B外切時，⊙A與直線l交于點E₂、E₃，作E₂N⊥x軸于N．則AE₂=2，利用相似三角形的性質(zhì)分別求解即可．

解答 解：如圖，

①當(dāng)⊙A與⊙B內(nèi)切時，直線l與⊙A交于點E₁、E₂，作E₁M⊥x軸于M．設(shè)⊙B與直線l相切于點D，連接BD，則BD⊥直線l，
在RtADB中，AB=5，BD=3，
∴AD=$\sqrt{A{B}^{2}-B{D}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}$=4，
∵⊙A與⊙B內(nèi)切，
∵AE₁=8，
∵∠MAE₁=∠DAB，∠E₁MA=∠BDA，
∴△AME₁∽△ADB，
∴$\frac{AM}{AD}$=$\frac{{E}_{1}M}{BD}$=$\frac{A{E}_{1}}{AB}$，
∴$\frac{AM}{4}$=$\frac{{E}_{1}M}{3}$=$\frac{8}{5}$，
∴AM=$\frac{32}{5}$，E₁M=$\frac{24}{5}$，
∴OM=$\frac{42}{5}$，點E₁（-$\frac{42}{5}$，-$\frac{24}{5}$），
∵E₄與E₁關(guān)于點A對稱，
∴E₄（$\frac{22}{5}$，-$\frac{24}{5}$）．
②當(dāng)⊙A與⊙B外切時，⊙A與直線l交于點E₂、E₃，作E₂N⊥x軸于N．則AE₂=2，
由△ANE₂∽△ADB，可得$\frac{AN}{AD}$=$\frac{N{E}_{2}}{BD}$=$\frac{A{E}_{2}}{AB}$，
∴$\frac{AN}{4}$=$\frac{N{E}_{2}}{3}$=$\frac{2}{5}$，
∴AN=$\frac{8}{5}$，NE₂=$\frac{6}{5}$，ON=$\frac{18}{5}$，
∴E₂（-$\frac{18}{5}$，-$\frac{6}{5}$）．
∵E₂與E₃關(guān)于點A對稱，
∴E₃（-$\frac{2}{5}$，$\frac{6}{5}$）．
綜上所述，點E的坐標(biāo)為（-$\frac{42}{5}$，-$\frac{24}{5}$）或（$\frac{22}{5}$，$\frac{24}{5}$）或（-$\frac{18}{5}$，-$\frac{6}{5}$）或（-$\frac{2}{5}$，$\frac{6}{5}$）．

點評 本題考查切線的性質(zhì)、兩圓的位置關(guān)系、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會用分類討論的思想思考問題，屬于中考常考題型．