Question

5．如圖，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分線相交于點O，過點O作EF∥BC交AB于E，交AC于F，過點O作OD⊥AC于D，下列四個結論：
①EF=BE+CF；
②∠BOC=90°+$\frac{1}{2}$∠A；
③點O到△ABC各邊的距離相等；
④設OD=m，AE+AF=n，則S_△AEF=mn．
其中正確的結論是①②③．（填序號）

Answer 1

分析 由在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分線相交于點O，根據角平分線的定義與三角形內角和定理，即可求得②∠BOC=90°+$\frac{1}{2}$∠A正確；由平行線的性質和角平分線的定義得出△BEO和△CFO是等腰三角形得出EF=BE+CF故①正確；由角平分線的性質得出點O到△ABC各邊的距離相等，故③正確；由角平分線定理與三角形面積的求解方法，即可求得③設OD=m，AE+AF=n，則S_△AEF=$\frac{1}{2}$mn，故④錯誤．

解答 解：∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分線相交于點O，
∴∠OBC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠OCB=$\frac{1}{2}$∠ACB，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，
∴∠OBC+∠OCB=90°-$\frac{1}{2}$∠A，
∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=90°+$\frac{1}{2}$∠A；故②正確；
∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分線相交于點O，
∴∠OBC=∠OBE，∠OCB=∠OCF，
∵EF∥BC，
∴∠OBC=∠EOB，∠OCB=∠FOC，
∴∠EOB=∠OBE，∠FOC=∠OCF，
∴BE=OE，CF=OF，
∴EF=OE+OF=BE+CF，
故①正確；
過點O作OM⊥AB于M，作ON⊥BC于N，連接OA，

∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分線相交于點O，
∴ON=OD=OM=m，$\frac{1}{2}$∴S_△AEF=S_△AOE+S_△AOF=$\frac{1}{2}$AE•OM+$\frac{1}{2}$AF•OD=$\frac{1}{2}$OD•（AE+AF）=$\frac{1}{2}$mn；故④錯誤；
∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分線相交于點O，
∴點O到△ABC各邊的距離相等，故③正確．
故答案是：①②③

點評 此題考查了角平分線的定義與性質，等腰三角形的判定與性質．此題難度適中，解題的關鍵是注意數形結合思想的應用．