Question

【題目】如圖，在正方形ABCD中，E為BC邊上一動點（不與點B、C重合），延長AE到點F，連接BF，且∠AFB＝45°，G為DC邊上一點，且DG＝BE，連接DF，點F關于直線AB的對稱點為M，連接AM、BM．

（1）依據題意，補全圖形；

（2）求證：∠DAG＝∠MAB；

（3）用等式表示線段BM、DF與AD的數量關系，并證明．

Answer 1

【答案】(1)詳見解析;(2)詳見解析;(3) BM2+DF2＝2AD2；證明見解析.

【解析】

（1）由題意畫出圖形即可；
（2）由SAS證明△ABE≌△ADG得出∠BAE=∠DAG，由對稱的性質得出∠BAE=∠MAB，即可得出∠DAG=∠MAB；
（3）連接BD，延長MB交AG的延長線于點N，由SAS證明△BAN≌△DAF得出∠N=∠AFD=45°，得出∠BFD=90°，由勾股定理得出BF2+DF2=BD2，即可得出結論．

（1）如圖1所示：

（2）證明：∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB＝AD，∠ABC＝∠BAD＝∠ADG＝90°，

在△ABE和△ADG中，

，

∴△ABE≌△ADG（SAS），

∴∠BAE＝∠DAG，

∵點F關于直線AB的對稱點為M，

∴∠BAE＝∠MAB，

∴∠DAG＝∠MAB；

（3）BM2+DF2＝2AD2；理由如下：

連接BD，延長MB交AG的延長線于點N，如圖2所示：

∵∠BAD＝90°，∠DAG＝∠MAB，

∴∠MAN＝90°，

由對稱性可知：∠M＝∠AFB＝45°，

∴∠N＝45°，

∴∠M＝∠N，

∴AM＝AN，

∵AF＝AM，

∴AF＝AN，

∵∠BAE＝∠DAG，

∴∠BAN＝∠DAF，

在△BAN和△DAF中，

，

∴△BAN≌△DAF（SAS），

∴∠N＝∠AFD＝45°，

∴∠BFD＝90°，

∴BF2+DF2＝BD2，

∵BDAD，BM＝BF，

∴BM2+DF2＝2AD2．