Question

10．如圖①所示，直線L：y=mx+5m與x軸負半軸、y軸正半軸分別交于A、B兩點．
（1）當OA=OB時，試確定直線L解析式；
（2）在（1）的條件下，如圖②所示，設Q為AB延長線上一點，連接OQ，過A、B兩點分別作AM⊥OQ于M，BN⊥OQ于N，若AM=4，MN=7，求BN的長；
（3）當M取不同的值時，點B在y軸正半軸上運動，分別以OB、AB為邊在第一、第二象限作等腰直角△OBF和等腰直角△ABE，連EF交y軸于P點，問當點B在y軸上運動時，試猜想PB的長是否為定值，若是，請求出其值；若不是，請求其取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由直線L解析式，求出A與B坐標，根據OA=OB，求出m的值，即可確定出直線L解析式；
（2）由OA=OB，對頂角相等，且一對直角相等，利用AAS得到△AMO≌△ONB，用對應線段相等求長度；
（3）如圖，作EK⊥y軸于K點，利用AAS得到△AOB≌△BKE，利用全等三角形對應邊相等得到OA=BK，EK=OB，再利用AAS得到△PBF≌△PKE，尋找相等線段，并進行轉化，求PB的長．

解答 解：（1）如圖1中，

∵直線L：y=mx+5m，
∴A（-5，0），B（0，5m），
由OA=OB，得5m=5，m=1，
∴直線解析式為：y=x+5；

（2）如圖2中，

在△AMO與△ONB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠OAM=∠BON}\\{∠AMO=∠BNO}\\{OA=OB}\end{array}\right.$，
∴△AMO≌△ONB（AAS），
∴AM=ON=4，BN=OM，
∵MN=7，
∴OM=3，
∴BN=OM=3．

（3）結論：PB的長為定值．理由如下，
如圖3中，作EK⊥y軸于K點，

∵△ABE為等腰直角三角形，
∴AB=BE，∠ABE=90°，
∴∠EBK+∠ABO=90°，
∵∠EBK+∠BEK=90°，
∴∠ABO=∠BEK，
在△AOB和△BKE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BKE=∠AOB=90°}\\{∠ABO=∠BEK}\\{AB=BE}\end{array}\right.$，
∴△AOB≌△BKE（AAS），
∴OA=BK，EK=OB，
∵△OBF為等腰直角三角形，
∴OB=BF，
∴EK=BF，
在△EKP和△FBP中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EKP=∠PBF=90°}\\{∠KPE=∠BPF}\\{EK=FB}\end{array}\right.$，
∴△PBF≌△PKE（AAS），
∴PK=PB，
∴PB=$\frac{1}{2}$BK=$\frac{1}{2}$OA=$\frac{5}{2}$．

點評 本題考查一次函數綜合題、全等三角形的判定與性質、等腰直角三角形的性質、一次函數與坐標軸的交點等知識，熟練掌握全等三角形的判定與性質是解本題的關鍵．