Question

15．如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，CD為AB邊上的中線，AE⊥CD于點E，交BC邊于點F，若AF=4，AB=8，則線段EF的長為$\frac{4}{5}$．

Answer 1

分析 如圖，取BF的中點H，連接DH．設EF=x，CE=y．由DH∥EF，得$\frac{EF}{DH}$=$\frac{CE}{CD}$，得$\frac{x}{2}$=$\frac{y}{4}$，推出y=2x，由△ACE∽△CFE，得到$\frac{CE}{EF}$=$\frac{AE}{CE}$，推出y²=x（4-x），解方程組即可．

解答 解：如圖，取BF的中點H，連接DH．設EF=x，CE=y．

∵∠ACB=90°，AD=DB，
∴CD=AD=DB=4，
∵AD=DB，FH=HB，
∴DH=$\frac{1}{2}$AF=2，DH∥EF，
∴$\frac{EF}{DH}$=$\frac{CE}{CD}$，
∴$\frac{x}{2}$=$\frac{y}{4}$，
∴y=2x，
∵AF⊥CE，
∴∠CEA=∠CEF=90°，
∵∠ACE+∠CAE=90°，∠ACE+∠ECF=90°，
∴∠ECF=∠CAE，
∴△ACE∽△CFE，
∴$\frac{CE}{EF}$=$\frac{AE}{CE}$，
∴y²=x（4-x），
∴4x²=x（4-x），
∵x≠0，
∴x=$\frac{4}{5}$，
∴EF=$\frac{4}{5}$，
故答案為$\frac{4}{5}$．

點評 本題考查相似三角形的判定和性質、勾股定理、平行線分線段成比例定理、二元二次方程組等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，學會構建方程組解決問題，屬于中考�？碱}型．