Question

（2012•南充）如圖，⊙C的內接△AOB中，AB=AO=4，tan∠AOB=

3

4

，拋物線y=ax²+bx經過點A（4，0）與點（-2，6）．
（1）求拋物線的函數解析式；
（2）直線m與⊙C相切于點A，交y軸于點D．動點P在線段OB上，從點O出發向點B運動；同時動點Q在線段DA上，從點D出發向點A運動；點P的速度為每秒一個單位長，點Q的速度為每秒2個單位長，當PQ⊥AD時，求運動時間t的值；
（3）點R在拋物線位于x軸下方部分的圖象上，當△ROB面積最大時，求點R的坐標．

Answer 1

分析：（1）根據拋物線y=ax²+bx經過點A（4，0）與點（-2，6），利用待定系數法求拋物線解析式；
（2）如答圖1，由已知條件，可以計算出OD、AE等線段的長度．當PQ⊥AD時，過點O作OF⊥AD于點F，此時四邊形OFQP、OFAE均為矩形．則在Rt△ODF中，利用勾股定理求出DF的長度，從而得到時間t的數值；
（3）因為OB為定值，欲使△ROB面積最大，只需OB邊上的高最大即可．按照這個思路解決本題．
如答圖2，當直線l平行于OB，且與拋物線相切時，OB邊上的高最大，從而△ROB的面積最大．聯立直線l和拋物線的解析式，利用一元二次方程判別式等于0的結論可以求出R點的坐標．

解答：解：（1）∵拋物線y=ax²+bx經過點A（4，0）與點（-2，6），
∴

16a+4b=0 4a-2b=6

，解得

a= 1 2 b=-2

∴拋物線的解析式為：y=

1

2

x²-2x．

（2）如答圖1，連接AC交OB于點E，由垂徑定理得AC⊥OB．
∵AD為切線，∴AC⊥AD，
∴AD∥OB．
過O點作OF⊥AD于F，
∴四邊形OFAE是矩形，
∵tan∠AOB=

3

4

，∴sin∠AOB=

3

5

，
∴AE=OA•sin∠AOB=4×

3

5

=2.4，
OD=OA•tan∠OAD=OA•tan∠AOB=4×

3

4

=3．
當PQ⊥AD時，OP=t，DQ=2t．
過O點作OF⊥AD于F，則在Rt△ODF中，
OD=3，OF=AE=2.4，DF=DQ-FQ=DQ-OP=2t-t=t，
由勾股定理得：DF=

OD2-OF2

=

32-2.42

=1.8，
∴t=1.8秒；

（3）如答圖2，設直線l平行于OB，且與拋物線有唯一交點R（相切），
此時△ROB中OB邊上的高最大，所以此時△ROB面積最大．
∵tan∠AOB=

3

4

，∴直線OB的解析式為y=

3

4

x，
由直線l平行于OB，可設直線l解析式為y=

3

4

x+b．
∵點R既在直線l上，又在拋物線上，
∴

1

2

x²-2x=

3

4

x+b，化簡得：2x²-11x-4b=0．
∵直線l與拋物線有唯一交點R（相切），
∴判別式△=0，即11²+32b=0，解得b=-

121

32

，
此時原方程的解為x=

11

4

，即x_R=

11

4

，
而y_R=

1

2

x_R²-2x_R=-

55

32

∴點R的坐標為R（

11

4

，-

55

32

）．

點評：本題是二次函數綜合題，主要考查了二次函數的圖形與性質、待定系數法求函數解析式、一元二次方程根的判別式、圓、勾股定理和解直角三角形等重要知識點．難點在于第（3）問，判定何時△ROB的面積最大是解決問題的關鍵．本題覆蓋知識面廣，難度較大，同學們只有做到基礎扎實和靈活運用才能夠順利解答．
本題第（3）問亦可利用二次函數極值的方法解決，同學們有興趣可深入探討．