Question

2．已知如圖：二次函數y=x²-2x-3，根據圖象回答下列問題：
（1）設函數圖象與x軸交于A、B兩點（A在B的左邊），與y軸交于點C，求△ABC的面積．
（2）在拋物線的對稱軸上找一點P，使PA+PC最小，求出點P的坐標．
（3）若在拋物線和x軸所圍成的封閉圖形內畫出一個最大的正方形，使得正方形的一邊在x軸上，其對邊的兩個端點在拋物線上，試求出這個最大正方形的邊長．
（4）翻折x軸下方的圖象，在形成的新圖象中，當直線y=x+b與新圖象有三個交點時，則b的值為1或$\frac{13}{4}$．

Answer 1

分析 （1）令x=0可求得y=-3，故此點C（0，-3），令y=0可求得x₁=3，x₂=-1，從而可求得點A、B的坐標，最后利用三角形的面積公式可求得△ABC的面積；
（2）連接CB交拋物線的對稱軸與點P，由軸對稱圖形的性質可知PA=PB，故此PA+PC=PB+PC，當點B、P、C在同一條直線上時，點PA+PC=BC有最小值，利用待定系數法求得BC的解析式為y=x-3，將x=1代入可求得點P的坐標；
（3）設點C′的坐標為（x，x²-2x-3），由拋物線的對稱性可知點D′的橫坐標坐標為2-x，從而可求得C′D′=2-2x，由正方形的性質可知2-2x=-（x²-2x-3），x₁=2-$\sqrt{5}$，x₂=2+$\sqrt{5}$（舍去），故此C′D′=$\sqrt{5}$，正方形的面積為5；
（4）如圖4所示，直線經過點A時，與新函數圖象有3個交點，如圖5所示直線與先函數圖形有三個交點，從而可求得點b的值．

解答 解：如圖1所示：

∵令x=0，得y=-3，
∴OC=3．
∵令y=0得：x²-2x-3=0，解得：x₁=3，x₂=-1，
∴A（-1，0）、B（3，0）．
∴AB=4．
∴△ABC的面積=$\frac{1}{2}AB•OC$=$\frac{1}{2}×4×3$=6．
（2）如圖2所示：連接BC，交拋物線的對稱軸與點P，連接AP．

∵x=-$\frac{b}{2a}$，
∴拋物線的對稱軸為x=1．
∵點A與點B關于x=1對稱，
∴PA=PB．
∴PA+PC=PB+PC．
當點C、P、B在一條直線上時，PA+PC有最小值．
設BC的解析式為y=kx+b，將點B、C的坐標代入得：$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=0}\\{b=-3}\end{array}\right.$
解得：k=1，b=-3．
∴直線BC的解析式為y=x-3．
將x=1代入得：y=1-3=-2．
∴P（1，-2）．
（3）如圖所示：

設點C′的坐標為（x，x²-2x-3）．
∵點C′與D′關于x=1對稱，
∴點D′的橫坐標為2-x．
∴C′D′=2-2x．
∵四邊形A′B′D′C′是正方形，
∴A′C′=C′D′．
∴2-2x=-（x²-2x-3）．
解得：x₁=2-$\sqrt{5}$，x₂=2+$\sqrt{5}$（舍去），
∴C′D′=$\sqrt{5}$．
∴正方形的面積為5．
（4）如圖4所示，當直線y=x+b經過點A時．

將A（-1，0）代入直線的解析式得：-1+b=0，解得：b=1．
如圖5所示：

設經過點A、B、C′的拋物線的解析式為y=a（x+1）（x-3），將點C′的坐標代入得：-3a=3，解得a=-1．
∵a=-1，
∴拋物線的解析式為y=-x²+2x+3．
將y=-x²+2x+3與y=x+b聯立得：-x²+2x+3=x+b．
∵直線y=x+b與拋物線y=-x²+2x+3有一個公共點，
∴方程x²-x+b-3=0判別式為0．
∴1²-4×1×（b-3）=0．
解得：b=$\frac{13}{4}$．
綜上所述，當b=1或b=$\frac{13}{4}$時，直線y=x+b與先函數圖象有3個交點．
故答案為：1或$\frac{13}{4}$．

點評 本題主要考查的是二次函數的綜合應用，涉及的知識點包括二次函數的圖象和性質、函數圖象與坐標軸的交點、正方形的性質、軸對稱路徑最短問題，依據軸對稱圖形的性質得到當點C、P、B在一條直線上時，PA+PC有最小值是解決問題（2）的關鍵；依據正方形的四條邊相等列出關于x的方程是解答本題（3）的關鍵；依據一元二次方程根與的判別式求得b的值是解決問題（4）的關鍵．