Question

（本題12分）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm．動點M，N從點C同時出發，均以每秒1cm的速度分別沿CA、CB向終點A，B移動，同時動點P從點B出發，以每秒2cm的速度沿BA向終點A移動，連接PM，PN，設移動時間為t（單位：秒，0＜t＜2.5）．

（1）當t為何值時，以A，P，M為頂點的三角形與△ABC相似？

（2）是否存在某一時刻t，使四邊形APNC的面積S有最小值？若存在，求S的最小值；若不存在，請說明理由．

 

Answer 1

（1）；（2）當時，四邊形APNC的面積S有最小值，其最小值是．

【解析】

試題分析：根據勾股定理求得AB=5cm．

（1）分類討論：△AMP∽△ABC和△APM∽△ABC兩種情況．利用相似三角形的對應邊成比例來求t的值；

（2）如圖，過點P作PH⊥BC于點H，構造平行線PH∥AC，由平行線分線段成比例求得以t表示的PH的值；然后根據“S=S△ABC﹣S△BPH”列出S與t的關系式S=（0＜t＜2.5），則由二次函數最值的求法即可得到S的最小值．

試題解析：∵如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm．

∴根據勾股定理，得=5cm．

（1）以A，P，M為頂點的三角形與△ABC相似，分兩種情況：①當△AMP∽△ABC時，

AP：AC=AM：AB，即，解得；

②當△APM∽△ABC時，AP：AB=AM：AC =，即，

解得（不合題意，舍去）；

綜上所述，當時，以A、P、M為頂點的三角形與△ABC相似；

（2）存在某一時刻t，使四邊形APNC的面積S有最小值．理由如下：假設存在某一時刻t，使四邊形APNC的面積S有最小值．

如圖，過點P作PH⊥BC于點H．則PH∥AC，∴PH：AC=BP：BA，即PH：4=2t：5，∴PH=，

∴S=S△ABC﹣S△BPN==（0＜t＜2.5）．

∵，∴S有最小值．當時，S最小值=．

答：當時，四邊形APNC的面積S有最小值，其最小值是．

考點：相似形綜合題．