Question

18．如圖，正方形ABCD的邊長為1，對角線交于點O，作∠DBF=30°，CE∥BD，DE∥BF，CE與BF交于點F，連接DF，∠DFC=105°．
（1）求證：四邊形BDEF是菱形；
（2）試說明△BDF的面積等于△ABD的面積；
（3）求CF的長．

Answer 1

分析 （1）首先證明四邊形BDEF是平行四邊形，再證明BD=BF即可解決問題．
（2）由BD∥CF，推出S_△BDF=S_△BDC，由四邊形ABCD是正方形，推出S_△ABD=S_△BDC，即可證明S_△BDF=S_△ABD．
（3）作FM⊥BC于M，由BD∥CF，推出∠BDC=∠DCF=∠FCM=45°，推出△CFM是等腰直角三角形，設CM=FM=x，在Rt△BFM中，由BF=BD=$\sqrt{2}$，BM=1+x，FM=x，可得（$\sqrt{2}$）²=x²+（x+1）²，解方程即可解決問題．

解答 （1）證明：∵BD∥EC，DE∥BF，
∴四邊形BDEF是平行四邊形，
∵∠BDF+∠DFC=180°，∠DFC=105°，
∴∠BDF=75°，∵∠DBF=30°，
∴∠BFD=180°-30°-75°=75°，
∴∠BDF=∠BFD=75°，
∴BD=BF，
∴四邊形BDEF是菱形．

（2）證明：∵BD∥CF，
∴S_△BDF=S_△BDC，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴S_△ABD=S_△BDC，
∴S_△BDF=S_△ABD．

（3）解：作FM⊥BC于M，
∵BD∥CF，
∴∠BDC=∠DCF=∠FCM=45°，
∴△CFM是等腰直角三角形，設CM=FM=x，
在Rt△BFM中，∵BF=BD=$\sqrt{2}$，BM=1+x，FM=x，
∴（$\sqrt{2}$）²=x²+（x+1）²，
∴x=$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$或$\frac{-\sqrt{3}-1}{2}$（舍棄），
∴CF=$\sqrt{2}$CM=$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}$．

點評 本題考查正方形的性質、菱形的性質、勾股定理、等腰直角三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識，學會用方程是思想思考問題，屬于中考常考題型．