Question

14．如圖，△ABC內接于⊙O，E是AC上一點，EF⊥AB于點F，且$\frac{AE}{EF}$=$\frac{3}{4}$，BC=10，則BC的弦心距OD等于（　　）

• A． $\frac{9}{4}$
• B． $\frac{15}{4}$
• C． 4
• D． $\frac{12}{5}$

Answer 1

分析 連接BO，OC由圓周角定理和垂徑定理易證△AEF∽△BDO，由相似三角形的性質：對應邊的性質相等可得到OD和BD的比值，結合已知條件BC=10，即可求出OD的長．

解答 解：
連接BO，OC，
∵OD⊥BC，
∴∠BOD=$\frac{1}{2}$∠BOC，BD=$\frac{1}{2}$BC=5，
∵∠A=$\frac{1}{2}$∠BOC，
∴∠A=∠BOD，
又∵EF⊥AB，
∴∠AEF=∠BDO=90°，
∴△AEF∽△BDO，
∴$\frac{AE}{EF}=\frac{OD}{BD}$，
∵$\frac{AE}{EF}$=$\frac{3}{4}$，
∴$\frac{OD}{5}=\frac{3}{4}$，
∴OD=$\frac{15}{4}$，
故選B．

點評 本題考查了圓周角定理的運用、相似三角形的判定和性質以及垂直的性質，解題的關鍵是正確添加輔助線構造相似三角形，是一道非常不錯的中考試題．