Question

如圖，在平面直角坐標系中，坐標原點為O，A點坐標為（4，0），B點坐標為（﹣1，0），以AB的中點P為圓心，AB為直徑作⊙P的正半軸交于點C．

（1）求經過A、B、C三點的拋物線所對應的函數解析式；

（2）設M為（1）中拋物線的頂點，求直線MC對應的函數解析式；

（3）試說明直線MC與⊙P的位置關系，并證明你的結論．

Answer 1

（1）y=-x2+x+2，（2）.（3）MC與⊙P的位置關系是相切．證明見解析.

【解析】

試題分析：（1）求出半徑，根據勾股定理求出C的坐標，設經過A、B、C三點拋物線解析式是y=a（x-4）（x+1），把C（0，2）代入求出a即可；

（2）求出M的坐標，設直線MC對應函數表達式是y=kx+b，把C（0，2），M（，）代入得到方程組，求出方程組的解即可；

（3）根據點的坐標和勾股定理分別求出PC、DC、PD的平方，根據勾股定理的逆定理得出∠PCD=90°，即可求出答案．

試題解析：（1）連接PC，

∵A（4，0），B（-1，0），

∴AB=5，半徑PC=PB=PA=，

∴OP=-1=，

在△CPO中，由勾股定理得：OC=

∴C（0，2），

設經過A、B、C三點拋物線解析式是y=a（x-4）（x+1），

把C（0，2）代入得：2=a（0-4）（0+1），

∴a=-，

∴y=-（x-4）（x+1）=-x2+x+2，

（2）y=-x2+x+2=-（x-）2+，

M（，），

設直線MC對應函數表達式是y=kx+b，

把C（0，2），M（，）代入得：

解得：，

∴.

（3）MC與⊙P的位置關系是相切．

證明：設直線MC交x軸于D，

當y=0時，，

∴x=-，OD=，

∴D（-，0），

在△COD中，由勾股定理得：CD2=22+（）2=，

PC2=（）2=，

PD2=（+-1）2=，

∴CD2+PC2=PD2，

∴∠PCD=90°，

∴PC⊥DC，

∵PC為半徑，

∴MC與⊙P的位置關系是相切．

考點：二次函數綜合題