Question

19．閱讀下列材料：
春節回家是中國人的一大情結，春運車票難買早已是不爭的事實．春節回家一般都要給父母、親戚帶點年貨，坐車回去不好攜帶，加上普通小客車中簽率低以及重大節假日高速公路小客車免費通行等因素，所以選擇春節租車回家的人越來越多．這都對汽車租賃市場起到明顯的拉動作用，出現了很多的租賃公司．
某租賃公司擁有20輛小型汽車，公司平均每日的各項支出共6250元．當每輛車的日租金為500元時，可全部租出；當每輛車的日租金每增加50元，未租出的車將增加1輛．
根據以上材料解答下列問題：
設公司每日租出x輛車時，日收益為y元（日收益=日租金收入-平均每日各項支出）．
（1）公司每日租出x輛車時，每輛車的日租金收入為1500-50x元（用含x的代數式表示）；
（2）當每日租出多少輛時，租賃公司日收益最大？最大是多少元？
（3）當每日租出多少輛時，租賃公司的日收益才能盈利？

Answer 1

分析 （1）公司每日租出x輛車，則有20-x輛車沒有租出，則租金每輛增加50（20-x）輛，據此即可求解；
（2）把收益表示成x的函數，根據二次函數的性質求得函數值的最大值即可；
（3）當租賃公司的日收益不盈也不虧時，即y=0，首先求得當y=0時對應的x的值，然后根據二次函數的性質確定x的值．

解答 解：（1）每輛車的日租金是500+50（20-x）=1500-50x（0≤x≤20，x為整數）．
（2）∵日租金收入=每輛車的日租金×日租出車輛的數量，
∴日租金收入=x（1500-50x）．
又∵日收益=日租金收入-平均每日各項支出，
∴y=x（1500-50x）-6250
=-50x²+1500x-6250=-50（x-15）²+5000．
∵租賃公司擁有20輛小型汽車，
∴0≤x≤20．
∴當x=15時，y有最大值5000．
∴當日租出15輛時，租賃公司的日收益最大，最大值為5000元．
（3）當租賃公司的日收益不盈也不虧時，即y=0．
∴-50（x-15）²+5000=0，解得x₁=25，x₂=5．
∴當5＜x＜25時，y＞0．
∵租賃公司擁有20輛小型汽車，
∴當每日租出5＜x≤20（x為整數）輛時，租賃公司的日收益才能盈利．

點評 本題考查了二次函數的實際應用．此題為數學建模題，借助二次函數解決實際問題，實際問題中的求最值問題常用的方法是轉化為函數問題，求函數的最值．