Question

（2012•鞍山三模）如圖，在直角坐標系xOy中，A、B是x軸上的兩點，以AB為直徑的圓交y軸于C，設過A、B、C三點的拋物線的解析式為y=x²-mx+n．方程x²-mx+n=0的兩根倒數和為-4．
（1）求n的值；
（2）求此拋物線的解析式；
（3）設平行于x軸的直線交此拋物線于E、F兩點，問是否存在此線段EF為直徑的圓恰好與x軸相切？若存在，求出此圓的半徑；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）由于AB是圓的直徑，根據相交弦定理的推論可得OC²=OA•OB，若設A（x₁，0），B（x₂，0），那么n²=-x₁x₂，根據根與系數的關系知x₁x₂=n，聯立兩式即可求得n的值．
（2）根據韋達定理可求得方程的兩根之和與兩根之積，即可表示出它們的倒數和，已知了倒數和為-4，即可求得m的值，由此確定拋物線的解析式．
（3）可假設存在這樣的點E、F，設以線段EF為直徑的圓的半徑為|r|，那么可用半徑|r|表示出E，F兩點的坐標，然后根據E，F在拋物線上，將E，F的坐標代入拋物線的解析式中，可得出關于|r|的方程，如果方程無解則說明不存在這樣的E，F點，如果方程有解，可用得出的r的值求出E，F兩點的坐標．

解答：解：（1）由題意，設A（x₁，0），B（x₂，0），C（0，n）
∵OA=-x₁，OB=x₂，又CO⊥AB，
∴CO²=AO•OB，
即n²=-x₁x₂；
又∵x₁，x₂是方程x²-mx+n=0的兩根，
∴x₁+x₂=n，
∴n²=-n，
∴n₁=-1，n₂=0（舍去），
∴n=-1．

（2）∵x₁，x₂是方程x²-mx+n=0的兩根，
∴x₁+x₂=m．
又∵n=-1，
∴x₁x₂=-1，
∴

1

x1

+

1

x2

=

x1+x2

x1x2

=

m

-1

=-4，
∴m=4，
∴所求拋物線的關系式為y=x²-4x-1．
（3）存在，設滿足條件的圓的半徑為|r|，
∵y=x²-4x-1．
=（x-2）²-5，
拋物線對稱軸為x=2，
根據圓和拋物線的對稱性可知：圓心在拋物線的對稱軸上，
∴E的坐標為（2+|r|，r），
∵點E在拋物線上，
∴r=（2+|r|-2）²-5，
即：r²-r-5=0，
解得：r=

1+ 21

2

或

1- 21

2

，
∴存在此線段EF為直徑的圓恰好與x軸相切，此圓的半徑為

1+ 21

2

或

21 -1

2

．

點評：本題著重考查了待定系數法求二次函數解析式、根與系數的關系、拋物線與圓的對稱性等知識，綜合性強，難度較大．