Question

14．（1）已知：如圖1，在銳角三角形ABC中，高BD與CE相交于點O，且BD=CE，求證：OB=OC；
（2）如圖2，在△ABC中，CD平分∠ACB，DE∥AC，∠B=50°，∠EDC=30°，求∠ADC的度數(shù)．

Answer 1

分析 （1）欲證OB=OC，可證∠OBC=∠OCB，只要證明△BEC≌△CDB即可；由已知可得∠BEC=∠CDB=90°，BD=CE，BC是公共邊，即可證得；
（2）根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等求出∠ACD，再根據(jù)角平分線的定義求出∠ACB，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠A，再利用三角形內(nèi)角和定理解答即可．

解答 （1）證明：∵CE⊥AB，BD⊥AC，
∴△EBC和△DCB都是直角三角形，
在Rt△EBC與Rt△DCB中$\left\{\begin{array}{l}{BC=CB}\\{BD=CE}\end{array}\right.$，
∴Rt△EBC≌Rt△DCB（HL），
∴∠BCE=∠CBD，
∴OB=OC；
（2）解：∵DE∥AC，∠EDC=30°，
∴∠ACD=∠EDC=30°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACB=2∠ACD=2×30°=60°，
在△ABC中，∠A=180°-∠B-∠ACB=180°-50°-60°=70°，
在△ACD中，∠ADC=180°-∠ACD-∠A=180°-30°-70°=80．

點評 本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，角平分線的定義，熟記性質(zhì)并準確識圖是解題的關(guān)鍵．