Question

19．（1）如圖，△ABC中，AB=AC，點D在線段AB上，E是直線BC上一點，且∠DEC=∠DCE，若∠A=60°（如圖①）．求證：EB=AD；
（2）若將（1）中的“點D在線段AB上”改為“點D在線段AB的延長線上”，其它條件不變（如圖②），（1）的結論是否成立，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）作DF∥BC交AC于F，由平行線的性質得出∠ADF=∠ABC，∠AFD=∠ACB，∠FDC=∠DCE，證明△ABC是等邊三角形，得出∠ABC=∠ACB=60°，證出△ADF是等邊三角形，∠DFC=120°，得出AD=DF，由已知條件得出∠FDC=∠DEC，ED=CD，由AAS證明△DBE≌△CFD，得出EB=DF，即可得出結論；
（2）作DF∥BC交AC的延長線于F，同（1）證出△DBE≌△CFD，得出EB=DF，即可得出結論；

解答 （1）證明：作DF∥BC交AC于F，如圖①所示：

則∠ADF=∠ABC，∠AFD=∠ACB，∠FDC=∠DCE，
∵△ABC是等腰三角形，∠A=60°，
∴△ABC是等邊三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，
∴∠DBE=120°，∠ADF=∠AFD=60°=∠A，
∴△ADF是等邊三角形，∠DFC=120°，
∴AD=DF，
∵∠DEC=∠DCE，
∴∠FDC=∠DEC，ED=CD，
在△DBE和△CFD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DEC=∠FDC}\\{∠DBE=∠DFC=120°}\\{ED=CD}\end{array}\right.$，
∴△DBE≌△CFD（AAS），
∴EB=DF，
∴EB=AD；

（2）解：EB=AD成立；理由如下：
作DF∥BC交AC的延長線于F，如圖②所示：

同（1）得：AD=DF，∠FDC=∠ECD，∠FDC=∠DEC，ED=CD，
又∵∠DBE=∠DFC=60°，
∴在△DBE和△CFD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DEC=∠FDC}\\{∠DBE=∠DFC}\\{ED=CD}\end{array}\right.$，
∴△DBE≌△CFD（AAS），
∴EB=DF，
∴EB=AD；

點評 本題考查了等邊三角形的判定與性質、全等三角形的判定與性質、等腰三角形的判定與性質、等腰直角三角形的判定與性質、平行線的性質等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造全等三角形解決問題，屬于中考�？碱}型．