Question

已知二次函數y=

1

2

x2+bx+c的圖象經過點A（c，-2），
求證：這個二次函數圖象的對稱軸是x=3．（題目中的矩形框部分是一段被染了無法辨認的文字．）
（1）根據已知和結論中現有的信息，你能否求出題中的二次函數解析式？若能，請寫出求解過程，并畫出二次函數的圖象；若不能，請說明理由．
（2）請根據已有的信息，在原題中的矩形框中，填加一個適當的條件，把原題補充完整．

Answer 1

分析：（1）根據對稱軸坐標公式，可以求出b，然后把A（c，-2）代入可以求得c，從而得到二次函數解析式，進而在平面直角坐標系內畫出函數的圖象；
（2）已知題中有兩個未知數，再添加一個條件能構成二元一次方程組即可．

解答：解：（1）能．
由結論中的對稱軸x=3，
得-

b

2×( 1 2 )

=3，則b=-3，
又因圖象經過點A（c，2），
則：

1

2

c2-3c+c=-2，
c²-4c+4=0，（c-2）²=0，
∴c₁=c₂=2，
∴c=2．
∴二次函數解析式為y=

1

2

x²-3x+2，
圖象如圖所示：

（2）補：點B（0，2）．（答案不唯一）
①過拋物線的任意一點的坐標，
②頂點坐標為（3，-

5

2

），
③當x軸的交點坐標（3+

5

，0）或（3-

5

，0），
④當y軸的交點坐標為（0，2），
⑤b=-3或c=2．

點評：此題結合實際考查了二次函數解析式的求法，為一道條件開放性題目，需要掌握二次函數的性質才能解答．