Question

已知二次函數y=x²+px+q（p，q為常數，△=p²-4q＞0）的圖象與x軸相交于A（x₁，0），B（x₂，0）兩點，且A，B兩點間的距離為d，例如，通過研究其中一個函數y=x²-5x+6及圖象（如圖），可得出表中第2行的相關數據．
（1）在表內的空格中填上正確的數；
（2）根據上述表內d與△的值，猜想它們之間有什么關系？再舉一個符合條件的二次函數，驗證你的猜想；
（3）對于函數y=x²+px+q（p，q為常數，△=p²-4q＞0）證明你的猜想．聰明的小伙伴：你能再給出一種不同于（3）的正確證明嗎？我們將對你的出色表現另外獎勵3分．

y=x2+px+q	p	q	△	x1	x2	d
y=x2-5x+6	-5	6	1	2	3	1
y=x2- 1 2 x	- 1 2		1 4		1 2
y=x2+x-2		-2		-2		3

Answer 1

分析：（1）p為一次項系數；q為二次函數的常數項；△為b²-4ac；一根為常數項÷另一根；d為較大根于較小根之差；
（2）代入相關值后可得相關量之間的關系；
（3）令y=0，得出x₁+x₂=-p，x₁•x₂=q．繼而推出d²=（|x₁-x₂|）²=△

解答：解：（1）易得第三行q=0，x₁=0，d=

1

2

；第四行為p=1，△=9，x₂=1；

（2）猜想：d²=△．
例如：y=x²-x-2中；p=-1，q=-2，△=9；
由x²-x-2=0得x₁=2，x₂=-1，d=3，d²=9，
∴d²=△；

（3）證明．令y=0，得x²+px+q=0，
∵△＞0
設x²+px+q=0的兩根為x₁，x₂，
則x₁+x₂=-p，x₁•x₂=q，
d²=（|x₁-x₂|）²=（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁•x₂
=（-p）²-4q=p²-4q=△，

點評：本題考查二次函數的性質的綜合運用，需注意可根據具體的數值得到相應的量之間的關系．