Question

在△ABC中，直線MN∥BC，CE平分∠ACB，交MN于點E，CF平分∠ACG，交MN于點F，連接AE、AF．
（1）請你猜猜OE與OF的大小有什么關系？試證明你的結論；
（2）探索：當MN在什么位置時，四邊形AECF是矩形，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用角平分線的定義和平行線的性質得到∠OEC=∠OCE，∠OFC=∠OCF，從而可判定0E=OF；
（2）根據題意，結合圖形可知，當MN與AC的交點是AC的中點時，四邊形AECF是矩形．要證明四邊形是矩形，則要證明一個角為直角的平行四邊形，通過題干條件證明即可．

解答：解：（1）證明：∵CE平分∠ACB交MN于E，CF平分∠ACG交MN于F，
∴∠OCE=∠BCE，∠OCF=∠FCG．
∵MN∥BC，
∴∠OEC=∠ECB，∠OFC=∠FCG．
∴∠OEC=∠OCE，∠OFC=∠OCF．
∴OE=OC，OC=OF．
∴OE=OF．

（2）當MN與AC的交點是AC的中點時，四邊形AECF是矩形．
∵EO=FO，點O是AC的中點．
∴四邊形AECF是平行四邊形，
∵CF平分∠BCA的外角，
∴∠4=∠5，
又∵∠1=∠2，
∴∠2+∠4=12×180°=90°．
即∠ECF=90度，
∴平行四邊形AECF是矩形．

點評：本題主要考查矩形的判定，平行線的性質，等腰三角形的判定與性質等知識，綜合性很強，做題時應考慮全面．