Question

（2011•杭州一模）等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=1，BC=5，∠C=α，E為AB中點，EF∥CD交BC于F，則EF=

1

cosα

．（用含α的代數式表示）．

Answer 1

分析：根據題意畫出圖形，過點A作AG∥CD交BC于點G，連接AF，由AG∥CD，AD∥BC可知，四邊形AGCD是平行四邊形，故可得出∠AGB=∠C=α，AG=CD，再由AB=CD可知AB=AG，由EF∥CD可知EF∥AG，故可得出EF是△ABG的中位線，由等腰三角形的性質可知AF⊥BC，故AG=

FG

cosα

，再由三角形中位線定理即可得出結論．

解答：解：如圖所示：過點A作AG∥CD交BC于點G，連接AF，
∵AG∥CD，AD∥BC，
∴四邊形AGCD是平行四邊形，
∴∠AGB=∠C=α，AG=CD，BG=BC-AD=5-1=4，
∵AB=CD，
∴AB=AG，
∵EF∥CD，
∴EF∥AG，
∴EF是△ABG的中位線，
∴AF⊥BC，FG=2，
∴AG=

FG

cosα

=

2

cosα

，
∴EF=

1

2

×

2

cosα

=

1

cosα

．
故答案為：

1

cosα

．

點評：本題考查的是等腰梯形的性質及三角形中位線定理，根據題意作出輔助線，構造出平行四邊形及等腰三角形是解答此題的關鍵．