Question

在平面直角坐標系中，已知點B的坐標是（﹣1，0），點A的坐標是（4，0），點C的坐標是（0，4），拋物線過A、B、C三點．

（1）求拋物線的解析式．

（2）點N事拋物線上的一點（點N在直線AC上方），過點N作NG⊥x軸，垂足為G，交AC于點H，當線段ON與CH互相平分時，求出點N的坐標．

（3）設拋物線的對稱軸為直線L，頂點為K，點C關于L的對稱點J，x軸上是否存在一點Q，y軸上是否一點R使四邊形KJQR的周長最小？若存在，請求出周長的最小值；若不存在，請說明理由．

　

Answer 1

【考點】二次函數綜合題．

【分析】（1）根據待定系數法，可得函數解析式；

（2）根據對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，可得NH與OC的關系，根據解方程，可得m的值，根據自變量與函數值的對應關系，可得答案；

（3）根據線段垂直平分線上的點到線短兩端點的距離相等，可得DR與DK的長，QJ與QE的關系，根據兩點之間線段最短，可得KR+RQ+QJ=ED，根據勾股定理，可得DE的長，KJ的長．

【解答】解：（1）設拋物線的解析式為y=ax²+bx+c，將A、B、C點坐標代入函數解析式，得

，

解得，

拋物線的解析式為y=﹣x²+3x+4；

（2）如圖1，

設AC的解析式為y=kx+b，將A、C點坐標代入，得

，解得，

AC的解析式為y=﹣x+4，

設N（m，﹣m²+3m+4），H（m，﹣m+4）．

NH=﹣m²+4m．

由線段ON與CH互相平分，得

NH=OC=4，

即﹣m²+4m=4，

解得m=2，﹣m²+3m+4=6，即N（2，6），

當線段ON與CH互相平分時，點N的坐標為（2，6）；

（3）如圖2，

作K點關于y軸的對稱點D，作J點關于x軸的對稱點E，連接DE交y軸于R交x軸于Q點，

y=﹣x²+3x+4=﹣（x﹣）²+，頂點K（，）．

由點C關于對稱軸L=的對稱點J，C（0，4），得

J點坐標為（3，4）．

由K點關于y軸的對稱點D，K（，），得

D點坐標為（﹣，）．

由J點關于x軸的對稱點E，J（3，4），得

E點的坐標為（3，﹣4）．

由勾股定理，得KJ==；

DE==，

KJQR的周長最小=KR+RQ+QJ+KJ=DE+KJ=+．

【點評】本題考查了二次函數綜合題，利用待定系數法求函數解析式；利用平行四邊形的判定與性質得出關于m的方程是解題關鍵，利用線段垂直平分線的性質得出DR與DK的長，QJ與QE的關系是解題關鍵．