Question

16．課本1.4有這樣一道例題：
問題4：用一根長22cm的鐵絲：
（1）能否圍成面積是30cm²的矩形？
（2）能否圍成面積是32cm²的矩形？
據此，一位同學提出問題：“用這根長22cm的鐵絲能否圍成面積最大的矩形？若能圍成，求出面積最大值；若不能圍成，請說明理由．”請你完成該同學提出的問題．

Answer 1

分析 （1）設當矩形的一邊長為x cm時，由矩形的面積公式列出方程，解方程即可；（2）同（1）列出方程，由判別式＜0，即可得出結果；
提出問題：設當矩形的一邊長為x cm時，面積為y cm²．由矩形的面積公式和配方法得出y=-x²+11x=-（x-$\frac{11}{2}$）²+$\frac{121}{4}$，由偶次方的性質，即可得出結果．

解答 解：（1）設當矩形的一邊長為x cm時，
根據題意得：x•（11-x）=30，
整理得：x²-11x+30=0，
解得：x=5，或x=6，
當x=5時，11-x=6；
當x=6時，11-x=5；
即能圍成面積是30cm²的矩形，此時長和寬分別為5cm、6cm；
（2）根據題意得：x•（11-x）=32，
整理得：x²-11x+32=0，
∵△=（-11）²-4×1×32＜0，
方程無解，因此不能圍成面積是32cm²的矩形；
提出問題：能圍成；理由如下：
設當矩形的一邊長為x cm時，面積為y cm²．
由題意得：y=x•（$\frac{22}{2}$-x）=-x²+11x=-（x-$\frac{11}{2}$）²+$\frac{121}{4}$，
∵（x-$\frac{11}{2}$）²≥0，
∴-（x-$\frac{11}{2}$）²+$\frac{121}{4}$≤$\frac{121}{4}$．
∴當x=$\frac{11}{2}$時，y有最大值=$\frac{121}{4}$，此時$\frac{22}{2}$-x=$\frac{11}{2}$．
答：當矩形的各邊長均為$\frac{11}{2}$ cm時，圍成的面積最大，最大面積是$\frac{121}{4}$cm²．

點評 本題考查了配方法的應用、偶次方的性質、列一元二次方程解應用題的方法、判別式的應用；熟練掌握配方法和偶次方的非負性質是解決問題的關鍵．