Question

如圖，已知AB⊥BD，CD⊥BD
（1）若AB=9，CD=4，BD=10，請問在BD上是否存在P點，使以P、A、B三點為頂點的三角形與以P、C、D三點為頂點的三角形相似？若存在，求BP的長；若不存在，請說明理由；
（2）若AB=9，CD=4，BD=12，請問在BD上存在多少個P點，使以P、A、B三點為頂點的三角形與以P、C、D三點為頂點的三角形相似？并求BP的長；
（3）若AB=9，CD=4，BD=15，請問在BD上存在多少個P點，使以P、A、B三點為頂點的三角形與以P、C、D三點為頂點的三角形相似？并求BP的長；
（4）若AB=m，CD=n，BD=l，請問m，n，l滿足什么關系時，存在以P、A、B三點為頂點的三角形與以P、C、D三點為頂點的三角形相似的一個P點？兩個P點？三個P點？

Answer 1

【答案】分析：（1）存在P點，使以P、A、B三點為頂點的三角形與以P、C、D三點為頂點的三角形相似，設BP=x，根據∠B=∠D=90°和相似三角形的判定得出當=或=時，使以P、A、B三點為頂點的三角形與以P、C、D三點為頂點的三角形相似，代入求出即可；
（2）存在P點，使以P、A、B三點為頂點的三角形與以P、C、D三點為頂點的三角形相似，設BP=x，根據∠B=∠D=90°和相似三角形的判定得出當=或=時，使以P、A、B三點為頂點的三角形與以P、C、D三點為頂點的三角形相似，代入求出即可；
（3）存在P點，使以P、A、B三點為頂點的三角形與以P、C、D三點為頂點的三角形相似，設BP=x，根據∠B=∠D=90°和相似三角形的判定得出當=或=時，使以P、A、B三點為頂點的三角形與以P、C、D三點為頂點的三角形相似，代入求出即可；
（4）存在P點，使以P、A、B三點為頂點的三角形與以P、C、D三點為頂點的三角形相似，設BP=x，根據∠B=∠D=90°和相似三角形的判定得出當=或=時，使以P、A、B三點為頂點的三角形與以P、C、D三點為頂點的三角形相似，代入后根據根的判別式進行判斷即可．
解答：解：（1）存在P點，使以P、A、B三點為頂點的三角形與以P、C、D三點為頂點的三角形相似，
理由是：設BP=x，
∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴∠B=∠D=90°，
∴當=或=時，使以P、A、B三點為頂點的三角形與以P、C、D三點為頂點的三角形相似，
∴①=或②=，
解方程①得：x=，
方程②得：x（10-x）=36，
x²-10x+36=0，
△=（-10）²-4×1×36＜0，此方程無解，
∴當BP=時，以P、A、B三點為頂點的三角形與以P、C、D三點為頂點的三角形相似，
∴存在P點，使以P、A、B三點為頂點的三角形與以P、C、D三點為頂點的三角形相似，此時BP的值為；

（2）在BD上存在2個P點，使以P、A、B三點為頂點的三角形與以P、C、D三點為頂點的三角形相似，
理由是：設BP=x，
∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴∠B=∠D=90°，
∴當=或=時，使以P、A、B三點為頂點的三角形與以P、C、D三點為頂點的三角形相似，
∴①=或②=，
解方程①得：x=，
方程②得：x（12-x）=36，
x²-12x+36=0，
△=（-10）²-4×1×36=0，
此方程的解為x₂=x₃=6，
∴當BP=或6時，以P、A、B三點為頂點的三角形與以P、C、D三點為頂點的三角形相似，
∴存在2個點P，使以P、A、B三點為頂點的三角形與以P、C、D三點為頂點的三角形相似，此時BP的值為或6；

（3）在BD上存在3個P點，使以P、A、B三點為頂點的三角形與以P、C、D三點為頂點的三角形相似，
理由是：設BP=x，
∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴∠B=∠D=90°，
∴當=或=時，使以P、A、B三點為頂點的三角形與以P、C、D三點為頂點的三角形相似，
∴①=或②=，
解方程①得：x=，
方程②得：x（15-x）=36，
x²-15x+36=0，
△=（-15）²-4×1×36=81，
此方程的解為x₂=3，x₃=12，
∴當BP=或3或12時，以P、A、B三點為頂點的三角形與以P、C、D三點為頂點的三角形相似，
∴存在3個點P，使以P、A、B三點為頂點的三角形與以P、C、D三點為頂點的三角形相似，此時BP的值為或3或12；

（4）設BP=x，
∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴∠B=∠D=90°，
∴當=或=時，使以P、A、B三點為頂點的三角形與以P、C、D三點為頂點的三角形相似，
∴①=或②=，
解方程①得：x=，
方程②得：x（l-x）=mn，
x²-lx+mn=0，
△=（-l）²-4×1×mn=l²-4mn，
∴當l²-4mn＜0時，方程②沒有實數根，
即當l²-4mn＜0時，存在以P、A、B三點為頂點的三角形與以P、C、D三點為頂點的三角形相似的一個P點；
∵當l²-4mn=0時，方程②有1個實數根，
∴當l²-4mn=0時，存在以P、A、B三點為頂點的三角形與以P、C、D三點為頂點的三角形相似的兩個P點；
∵當l²-4mn＞0時，方程②有2個實數根，
∴當l²-4mn＞0時，存在以P、A、B三點為頂點的三角形與以P、C、D三點為頂點的三角形相似的三個P點．
點評：本題考查了相似三角形的判定和性質，根的判別式的應用，注意：ax²+bx+c=0（a≠0，a、b、c為常數），當△=b²-4ac＜0時，方程無實數解，當△=b²-4ac=0時，方程有兩個相等的實數解，當△=b²-4ac＞0時，方程有兩個不等的實數解．