Question

（2013•永州）如圖，已知AB⊥BD，CD⊥BD
（1）若AB=9，CD=4，BD=10，請問在BD上是否存在P點，使以P、A、B三點為頂點的三角形與以P、C、D三點為頂點的三角形相似？若存在，求BP的長；若不存在，請說明理由；
（2）若AB=9，CD=4，BD=12，請問在BD上存在多少個P點，使以P、A、B三點為頂點的三角形與以P、C、D三點為頂點的三角形相似？并求BP的長；
（3）若AB=9，CD=4，BD=15，請問在BD上存在多少個P點，使以P、A、B三點為頂點的三角形與以P、C、D三點為頂點的三角形相似？并求BP的長；
（4）若AB=m，CD=n，BD=l，請問m，n，l滿足什么關(guān)系時，存在以P、A、B三點為頂點的三角形與以P、C、D三點為頂點的三角形相似的一個P點？兩個P點？三個P點？

Answer 1

分析：（1）存在P點，使以P、A、B三點為頂點的三角形與以P、C、D三點為頂點的三角形相似，設(shè)BP=x，根據(jù)∠B=∠D=90°和相似三角形的判定得出當(dāng)

AB

CD

=

BP

PD

或

AB

PD

=

BP

CD

時，使以P、A、B三點為頂點的三角形與以P、C、D三點為頂點的三角形相似，代入求出即可；
（2）存在P點，使以P、A、B三點為頂點的三角形與以P、C、D三點為頂點的三角形相似，設(shè)BP=x，根據(jù)∠B=∠D=90°和相似三角形的判定得出當(dāng)

AB

CD

=

BP

PD

或

AB

PD

=

BP

CD

時，使以P、A、B三點為頂點的三角形與以P、C、D三點為頂點的三角形相似，代入求出即可；
（3）存在P點，使以P、A、B三點為頂點的三角形與以P、C、D三點為頂點的三角形相似，設(shè)BP=x，根據(jù)∠B=∠D=90°和相似三角形的判定得出當(dāng)

AB

CD

=

BP

PD

或

AB

PD

=

BP

CD

時，使以P、A、B三點為頂點的三角形與以P、C、D三點為頂點的三角形相似，代入求出即可；
（4）存在P點，使以P、A、B三點為頂點的三角形與以P、C、D三點為頂點的三角形相似，設(shè)BP=x，根據(jù)∠B=∠D=90°和相似三角形的判定得出當(dāng)

AB

CD

=

BP

PD

或

AB

PD

=

BP

CD

時，使以P、A、B三點為頂點的三角形與以P、C、D三點為頂點的三角形相似，代入后根據(jù)根的判別式進(jìn)行判斷即可．

解答：解：（1）存在P點，使以P、A、B三點為頂點的三角形與以P、C、D三點為頂點的三角形相似，
理由是：設(shè)BP=x，
∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴∠B=∠D=90°，
∴當(dāng)

AB

CD

=

BP

PD

或

AB

PD

=

BP

CD

時，使以P、A、B三點為頂點的三角形與以P、C、D三點為頂點的三角形相似，
∴①

9

4

=

x

10-x

或②

9

10-x

=

x

4

，
解方程①得：x=

90

13

，
方程②得：x（10-x）=36，
x²-10x+36=0，
△=（-10）²-4×1×36＜0，此方程無解，
∴當(dāng)BP=

90

13

時，以P、A、B三點為頂點的三角形與以P、C、D三點為頂點的三角形相似，
∴存在P點，使以P、A、B三點為頂點的三角形與以P、C、D三點為頂點的三角形相似，此時BP的值為

90

13

；

（2）在BD上存在2個P點，使以P、A、B三點為頂點的三角形與以P、C、D三點為頂點的三角形相似，
理由是：設(shè)BP=x，
∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴∠B=∠D=90°，
∴當(dāng)

AB

CD

=

BP

PD

或

AB

PD

=

BP

CD

時，使以P、A、B三點為頂點的三角形與以P、C、D三點為頂點的三角形相似，
∴①

9

4

=

x

12-x

或②

9

12-x

=

x

4

，
解方程①得：x=

108

13

，
方程②得：x（12-x）=36，
x²-12x+36=0，
△=（-12）²-4×1×36=0，
此方程的解為x₂=x₃=6，
∴當(dāng)BP=

108

13

或6時，以P、A、B三點為頂點的三角形與以P、C、D三點為頂點的三角形相似，
∴存在2個點P，使以P、A、B三點為頂點的三角形與以P、C、D三點為頂點的三角形相似，此時BP的值為

108

13

或6；

（3）在BD上存在3個P點，使以P、A、B三點為頂點的三角形與以P、C、D三點為頂點的三角形相似，
理由是：設(shè)BP=x，
∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴∠B=∠D=90°，
∴當(dāng)

AB

CD

=

BP

PD

或

AB

PD

=

BP

CD

時，使以P、A、B三點為頂點的三角形與以P、C、D三點為頂點的三角形相似，
∴①

9

4

=

x

15-x

或②

9

15-x

=

x

4

，
解方程①得：x=

135

13

，
方程②得：x（15-x）=36，
x²-15x+36=0，
△=（-15）²-4×1×36=81，
此方程的解為x₂=3，x₃=12，
∴當(dāng)BP=

135

13

或3或12時，以P、A、B三點為頂點的三角形與以P、C、D三點為頂點的三角形相似，
∴存在3個點P，使以P、A、B三點為頂點的三角形與以P、C、D三點為頂點的三角形相似，此時BP的值為

135

13

或3或12；

（4）設(shè)BP=x，
∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴∠B=∠D=90°，
∴當(dāng)

AB

CD

=

BP

PD

或

AB

PD

=

BP

CD

時，使以P、A、B三點為頂點的三角形與以P、C、D三點為頂點的三角形相似，
∴①

m

n

=

x

l-x

或②

m

l-x

=

x

n

，
解方程①得：x=

ml

m+n

，
方程②得：x（l-x）=mn，
x²-lx+mn=0，
△=（-l）²-4×1×mn=l²-4mn，
∴當(dāng)l²-4mn＜0時，方程②沒有實數(shù)根，
即當(dāng)l²-4mn＜0時，存在以P、A、B三點為頂點的三角形與以P、C、D三點為頂點的三角形相似的一個P點；
∵當(dāng)l²-4mn=0時，方程②有1個實數(shù)根，
∴當(dāng)l²-4mn=0時，存在以P、A、B三點為頂點的三角形與以P、C、D三點為頂點的三角形相似的兩個P點；
∵當(dāng)l²-4mn＞0時，方程②有2個實數(shù)根，
∴當(dāng)l²-4mn＞0時，存在以P、A、B三點為頂點的三角形與以P、C、D三點為頂點的三角形相似的三個P點．

點評：本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，根的判別式的應(yīng)用，注意：ax²+bx+c=0（a≠0，a、b、c為常數(shù)），當(dāng)△=b²-4ac＜0時，方程無實數(shù)解，當(dāng)△=b²-4ac=0時，方程有兩個相等的實數(shù)解，當(dāng)△=b²-4ac＞0時，方程有兩個不等的實數(shù)解．