Question

有四張形狀、大小和質地相同的卡片A、B、C、D，正面分別寫有一個正多邊形（所有正多邊形的邊長相等），把四張卡片洗勻后正面朝下放在桌面上，從中隨機抽取一張（不放回），接著再隨機抽取一張．

（1）請你用畫樹形圖或列表的方法列舉出可能出現的所有結果；

（2）如果在（1）中各種結果被選中的可能性相同，求兩次抽取的正多邊形能構成平面鑲嵌的概率；

（3）若兩種正多邊形構成平面鑲嵌，p、q表示這兩種正多邊形的個數，x、y表示對應正多邊形的每個內角的度數，則有方程px＋qy＝360，求每種平面鑲嵌中p、q的值．

Answer 1

見解析

【解析】

試題分析：（1）根據所畫樹形圖或列表可知所有出現的結果共有12種；（2）所有出現的12種結果中兩次抽取的正多邊形能構成平面鑲嵌有4種，所以概率是；（3）若兩種正多邊形構成平面鑲嵌，只能是正三角形和正方形及正三角形和六邊形，所以x、y的值是60,90和60,120，分別代入px＋qy＝360，求整數解即可.

試題解析：（1）所有出現的結果共有如下12種：

第一次/第二次	A	B	C	D
A		BA	CA	DA
B	AB		CB	DB
C	AC	BC		DC
D	AD	BD	CD

（2）因為12種結果中能構成平面鑲嵌的有4種：AB，BA，AD，DA

所以P（兩次抽取的正多邊形能構成平面鑲嵌）＝＝；

（3）當正三角形和正方形構成平面鑲嵌時，

則有60p＋90q＝360，即2p＋3q＝12．

因為p、q是正整數，

所以p＝3，q＝2，

當正三角形和六邊形構成平面鑲嵌時，

則有60p＋120q＝360，即p＋2q＝6．

因為p、q是正整數，

所以p＝4，q＝1或p＝2，q＝2．

考點：1. 畫樹形圖或列表求概率；2. 平面鑲嵌；3.二元一次方程的整數解.