Question

如圖，?ABCD中，EF過AC的中點O，與邊AD、BC分別相交于點E、F，
①證明：△AOE≌△COF 
②證明：四邊形AECF是平行四邊形；
③在已知條件外，請你再添加一個條件，使四邊形AECF是矩形．

Answer 1

分析：①由ABCD為平行四邊形，根據平行四邊形的性質得到對邊AD與BC平行，且對角線互相平分得到O為AC的中點，然后利用兩直線平行得到兩對內錯角相等，再根據AAS可得三角形AOE與三角形COF全等，得證；
②由第一問得到的兩三角形全等，根據全等三角形的對應邊相等可得OE=OF，又由平行四邊形的對角線互相平分可得OA=OC，然后根據對角線互相平分的四邊形為平行四邊形可得證；
③由第二問證明的AECF為平行四邊形，若再添加AC=EF，根據對角線相等的平行四邊形為矩形可得AECF為矩形；若添加AF垂直于BC，由垂直定義可得∠AFC=90°，根據有一個角為直角的平行四邊形為矩形可得AECF為矩形，所添的條件不唯一，只要滿足題意即可．

解答：①證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形（已知），
∴AD∥BC（平行四邊形的對邊平行），
OA=OC（平行四邊形的對角線互相平分），
∴∠1=∠2，∠3=∠4（兩直線平行，內錯角相等），
在△AOE和△COF中，

∠1=∠2 ∠3=∠4 OA=OC

，
∴△AOE≌△COF（AAS）；

②證明：由①得：△AOE≌△COF，
∴OE=OF（全等三角形的對應邊相等），又OA=OC（已證），
∴四邊形AECF是平行四邊形（對角線互相平分的四邊形為平行四邊形）；

③解：若添加AC=EF，理由：
由②得四邊形AECF是平行四邊形，且對角線AC=EF，
∴AECF為矩形（對角線相等的平行四邊形為矩形）；
若添加AF⊥BC，理由：
由②得四邊形AECF是平行四邊形，
又AF⊥BC，∴∠AFC=90°（垂直定義），
∴AECF為矩形（有一個角為直角的平行四邊形為矩形）．
（答案不一，只要滿足題意即可）．

點評：此題考查了全等三角形的判定與性質，平行四邊形的判定與性質，以及矩形的判定，其中平行四邊形的性質有：對邊平行且相等，兩組對角相等，對角線互相平分，本題第一問用的是平行四邊形的對角線互相平分，對邊平行；平行四邊形的判定方法有：一組對邊平行且相等的四邊形為平行四邊形，兩組對邊相等的四邊形為平行四邊形，兩組對角相等的四邊形為平行四邊形，對角線互相平分的四邊形為平行四邊形，本題第二問用的方法是對角線互相平分的四邊形為平行四邊形；第三問為條件探究型題，是近幾年中考的熱點題型，解題的關鍵是從結論出發，逆向追索，補充使結論成立的條件，但滿足結論的條件不是唯一的，學生解答本題時應熟練掌握矩形的判定方法，即對角線相等的平行四邊形為矩形；有一個角為直角的平行四邊形為矩形．