Question

5．已知⊙O的半徑為5，弦AB=6，P是AB上任意一點，點C是劣弧$\widehat{AB}$的中點，若△POC為直角三角形，則PB的長度（　　）

• A． 1
• B． 5
• C． 1或5
• D． 2或4

Answer 1

分析 由點C是劣弧$\widehat{AB}$的中點，得到OC垂直平分AB，求得DA=DB=3，根據勾股定理得到OD=$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}$=1，若△POC為直角三角形，只能是∠OPC=90°，則根據相似三角形的性質得到PD=2，于是得到結論．

解答 解：∵點C是劣弧$\widehat{AB}$的中點，
∴OC垂直平分AB，
∴DA=DB=3，
∴OD=$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}$=4，
若△POC為直角三角形，只能是∠OPC=90°，
則△POD∽△CPD，
∴$\frac{PD}{OD}=\frac{CD}{PD}$，
∴PD²=4×1=4，
∴PD=2，
∴PB=3-2=1，
根據對稱性得，
當P在OC的左側時，PB=3+2=5，
∴PB的長度為1或5，
故選C．

點評 本題考查了圓周角，弧，弦的關系，勾股定理，垂徑定理，正確左側圖形是解題的關鍵．