Question

【題目】對于平面中給定的一個圖形及一點 P，若圖形上存在兩個點 A、B，使得△PAB 是邊長為 2 的等邊三角形，則稱點 P 是該圖形的一個“美好點”．

（1）若將 x 軸記作直線 l，下列函數的圖象上存在直線 l 的“美好點”的是 （只填選項）

A．正比例函數 y x

B．反比例函數 y

C．二次函數 y x 2

（2）在平面直角坐標系 xOy 中，若點 M (n, 0) ， N (0, n) ，其中n0 ，⊙O 的半徑為 r．

①若r 2，⊙O 上恰好存在 2 個直線 MN 的“美好點”，求 n 的取值范圍；

②若n4 ，線段 MN 上存在⊙O 的“美好點”，直接寫出 r 的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）A，B　　（2）①2＜＜6，②．

【解析】

（1）把每個函數的圖像畫好，利用美好點的定義畫出符合條件的等邊直接可以作出判斷．

（2）①弄懂題意，將直線MN沿軸平移，利用空間想象能力找到一個美好點時，三個美好點時的模型，然后利用不等式組求得的范圍．

②沿①問的思路直接列出不等式求解．

解：（1）如下圖：P是直線的美好點，則是邊長為2的等邊三角形，所以，過P作 垂足為D，則又P是直線上的點，所以，所以，所以，所以上存在的美好點．故A正確．

如下圖：P是直線的美好點，則是邊長為2的等邊三角形，所以，過P作 垂足為D，則又P是直線上的點，所以P的縱坐標是，把縱坐標代入函數解析式的橫坐標為 所以，所以上存在的美好點．故B正確．

如下圖，拋物線的頂點C（0，2），所以上的點與上的點之間最短距離是2，所以上不存在的美好點．

故答案為A，B．

（2）①如圖，當直線MN與⊙O相離時，因為M (n, 0) ， N (0, n)（）所以直線MN的解析式為：，，

將直線NN平移到與⊙O相切，切點為E，與軸交于點C，連接OE，延長OE與MN交于點D，則，當E為MN的美好點時，此時⊙O 上存在一個MN的美好點，此時ED＝，所以當⊙O上恰好存在MN的兩個美好點，則，

又由 所以，所以，

所以，解得： ．

當直線MN與⊙O相交時，如下圖，同理當時，由對稱性知道⊙O上存在MN的三個美好點，然后會出現四個美好點，所以此時，此時，所以，解得：．綜上的取值范圍為： ．

②如下圖，當n4，則M (, 0) ， N (0, 4)，此時，將直線NN平移到與⊙O相切，切點為E，與軸交于點C，連接OE，延長OE與MN交于點D，則，當E為MN的美好點時，此時⊙O 上存在一個MN的美好點，此時ED＝，若線段 MN 上存在⊙O 的“美好點”，則 ，

所以，解得：