【題目】如圖，已知AB是⊙O的直徑，過O點作OP⊥AB，交弦AC于點D，交⊙O于點E，且使∠PCA=∠ABC．
(1)求證：PC是⊙O的切線；
(2)若∠P=60°，PC=2，求PE的長．
【答案】（1）證明見解析；（2）4-
．
【解析】
試題分析：(1)連接OC，由OB=OC及已知可得∠PCA=∠OCB．由直徑所對的圓周角為直角有∠ACB=90°，從而可得∠OCP=90°，所以PC是⊙O的切線；(2)在Rt△PCO中，利用∠P的正切和正弦分別求得OC、OP的長，再根據PE=OP-OE計算即可．
試題解析：(1)連接OC． ∵OB=OC，∴∠ABC=∠OCB． 又∠PCA=∠ABC，∴∠PCA=∠OCB．∵AB為⊙O直徑，∴∠ACB=90°． ∴∠ACO+∠OCB=90°，∴∠ACO+∠PCA=90°，即∠OCP=90°，∴PC是⊙O的切線；
(2)在Rt△PCO中，tan∠P=
，∴OC=PCtan∠P=2tan60°=
，sin∠P=
，∴OP=
=
=4，∴PE=OP-OE=OP-OC=4-．
名校課堂系列答案科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，已知一次函數與反比例函數的圖象交于點A(-4，-1)和B(a，2)．
（1）求反比例函數的解析式和點B的坐標．
（2）根據圖象回答，當x在什么范圍內時，一次函數的值大于反比例函數的值？
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科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，正方形ABCD的邊長為6，M是AB的中點，P是BC邊上的動點，連結PM，以點P為圓心，PM長為半徑作⊙P．當⊙P與正方形ABCD的邊相切時，BP的長為_____．
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【題目】如圖1，在△ABC中，AB＝BC＝5，AC＝6．△ECD是△ABC沿BC方向平移得到的，連接AE．AC和BE相交于點O．
（1）判斷四邊形ABCE是怎樣的四邊形，說明理由；
（2）如圖2，P是線段BC上一動點（圖2），（不與點B、C重合），連接PO并延長交線段AE于點Q，QR⊥BD，垂足為點R．
①四邊形PQED的面積是否隨點P的運動而發生變化．若變化，請說明理由；若不變，求出四邊形PQED的面積；
②當線段PB的長為何值時，△PQR與△BOC相似．
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科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8．動點E，F同時分別從點A，B出發，分別沿著射線AD和射線BD的方向均以每秒1個單位的速度運動，連接EF，以EF為直徑作⊙O交射線BD于點M，設運動的時間為t．
（1）當點E在線段AD上時，用關于t的代數式表示DE，DM．
（2）在整個運動過程中，
①連結CM，當t為何值時，△CDM為等腰三角形．
②圓心O處在矩形ABCD內（包括邊界）時，求t的取值范圍，并直接寫出在此范圍內圓心運動的路徑長．
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【題目】如圖，在平面直角坐標系中，四邊形OABC為菱形，點C的坐標為（8，0），∠AOC＝60°，垂直于x軸的直線l從y軸出發，沿x軸正方向以每秒1個單位長度的速度運動，設直線l與菱形OABC的兩邊分別交于點M、N（點M在點N的上方）．
（1）求A、B兩點的坐標；
（2）設△OMN的面積為S，直線l運動時間為t秒（0≤t≤12），求S與t的函數表達式；
（3）在（2）的條件下，t為何值時，S最大？并求出S的最大值．
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科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，在□ABCD 中，對角線 AC 與 BD 相交于點 O ，點 E ， F 分別為 OB ， OD 的中點，延長 AE 至 G ，使 EG ＝AE ，連接 CG ．
（1）求證： △ABE≌△CDF ；
（2）當 AB 與 AC 滿足什么數量關系時，四邊形 EGCF 是矩形？請說明理由.
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