Question

如圖，BC是⊙O的直徑，A是弦BD延長線上一點，切線DE平分AC于E。

（1）求證：AC是⊙O的切線；
（2）若AD:DB=3:2，AC=15，求⊙O的直徑。

Answer 1

（1）連接OD、CD，先根據切線的性質得到OD⊥DE，即∠1+∠2=90°，再根據圓周角定理可得∠BDC=90°，再結合E為AC的中點，根據直角三角形的性質可得DE=CE=AE=AC，即得∠2=∠3，根據元的基本性質可得∠1=∠4，即得∠3+∠4=∠1+∠2=90°，從而證得結論；（2）

試題分析：（1）連接OD、CD，先根據切線的性質得到OD⊥DE，即∠1+∠2=90°，再根據圓周角定理可得∠BDC=90°，再結合E為AC的中點，根據直角三角形的性質可得DE=CE=AE=AC，即得∠2=∠3，根據元的基本性質可得∠1=∠4，即得∠3+∠4=∠1+∠2=90°，從而證得結論；  
（2）分別證得△ACD∽△ABC與△ACD∽△BCD，根據相似三角形的性質可得，，由AD:DB=3:2可設AD=3k，DB=2k，則AB=5k，即可求得結果.
（1）連接OD、CD

∵DE是⊙O的切線，切點為D
∴OD⊥DE于D
∴∠ODE=90°，即∠1+∠2=90°；
∵BC為⊙O的直徑
∴∠BDC=90°
∴∠ADC=90°
∵E為AC的中點
∴DE=CE=AE=AC
∴∠2=∠3
∵⊙O中，OC=OD
∴∠1=∠4
∴∠3+∠4=∠1+∠2=90°
∴OC⊥AC于C
∴AC是⊙O的切線；
（2）∵∠ACD=∠BDC=90°，∠A=∠A
∴△ACD∽△ABC
同理：△ACD∽△BCD
∴①
②
∵AD:DB=3:2
∴設AD=3k，DB=2k，則AB=5k
∴①


②

∴.
點評：此類問題綜合性強，難度較大，在中考中比較常見，一般作為壓軸題，題目比較典型．