Question

如圖，已知反比例函數(shù)y=

k

x

的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（-1，3），若在x軸上存在點(diǎn)B，使得線段BA繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后，點(diǎn)A仍落在反比例函數(shù)圖象上，則B點(diǎn)的坐標(biāo)為______．

Answer 1

∵反比例函數(shù)y=

k

x

的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（-1，3），
∴

k

-1

=3，
解得k=-3，
∴反比例函數(shù)解析式為y=-

3

x

，
設(shè)OB=a，
①如圖1，點(diǎn)B在x軸負(fù)半軸時(shí)，過(guò)點(diǎn)A作AC⊥x軸于C，過(guò)點(diǎn)A′作A′D⊥x軸于D，
∵旋轉(zhuǎn)角是90°，
∴∠ABA′=90°，
∴∠ABC+∠A′BD=90°，
又∵∠BAC+∠ABC=90°，
∴∠BAC=∠A′BD，
在△ABC和△BA′D中，

∠BAC=∠A′BD ∠ACB=∠A′DB=90° AB=A′B

，
∴△ABC≌△BA′D（AAS），
∴A′D=BC=a-1，BD=AC=3，
∴點(diǎn)A′的坐標(biāo)為（-a-3，a-1），
代入反比例函數(shù)解析式得，-

3

-a-3

=a-1，
解得a₁=-1+

7

，a₂=-1-

7

（舍去），
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1-

7

，0），
②如圖2，點(diǎn)B在x軸正半軸時(shí)，
同理可得點(diǎn)A′的坐標(biāo)為（a-3，a+1），
代入反比例函數(shù)解析式得，-

3

a-3

=a+1，
解得，a₁=0（舍去），a₂=2，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，0），
綜上所述，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1-

7

，0）或（2，0）．
故答案為：（1-

7

，0）或（2，0）．