Question

已知△ABC中，AB=AC=2，∠BAC=90°，直角∠EPF的頂點P是BC的中點，兩邊PE、PF分別交AB、AC于點E、F，給出以下四個結論：①AE=CF；②tan∠PEF=

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；③S_△EPF的最小值為

1

2

；④S_{四邊形AEPF}=1．當∠EPF在△ABC內繞頂點P旋轉時（點E不與A、B重合），上述結論中始終正確的有______．

Answer 1

∵∠APE、∠CPF都是∠APF的余角，
∴∠APE=∠CPF，
∵AB=AC，∠BAC=90°，P是BC中點，
∴AP=CP，
又∵AP=CP，∠EPA=∠FPC，
∴△APE≌△CPF（ASA），同理可證△APF≌△BPE，
∴AE=CF（故①正確），△EPF是等腰直角三角形（最小值為1，tan∠PEF=1，故②錯誤③正確），S_{四邊形AEPF}=

1

2

S_△ABC=1（故④正確），①③④正確；
故答案為：①③④．