Question

13．寧波地區最近霧霾天氣頻繁，使得空氣凈化器得以暢銷，某商場代理銷售某種空氣凈化器，其進價是500元/臺，經過市場銷售后發現，在一個月內，當售價是1000元/臺時，可售出50臺，且售價每降低20元，就可多售出5臺．若供貨商規定這種空氣凈化器售價不能低于600元/臺，代理銷售商每月要完成不低于60臺的銷售任務．
（1）試確定月銷售量y（臺）與售價x（元/臺）之間的函數關系式；并求出自變量x的取值范圍；
（2）當售價x（元/臺）定為多少時，商場每月銷售這種空氣凈化器所獲得的利潤w（元）最大？最大利潤是多少？

Answer 1

分析 （1）根據題意可以求得y與x的函數關系式，由供貨商規定這種空氣凈化器售價不能低于600元/臺，代理銷售商每月要完成不低于60臺的銷售任務可以求得x的取值范圍；
（2）根據題意可以得到w關于x的關系式，然后化為頂點式，從而可以求得w的最大值和此時x的值．

解答 解：（1）由題意可得，
y=50+（1000-x）÷20×5=300-$\frac{x}{4}$，
∵貨商規定這種空氣凈化器售價不能低于600元/臺，代理銷售商每月要完成不低于60臺的銷售任務，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x≥600}\\{300-\frac{x}{4}≥60}\end{array}\right.$，
解得，600≤x≤960，
即月銷售量y（臺）與售價x（元/臺）之間的函數關系式是y=300-$\frac{x}{4}$（600≤x≤960）；
（2）由題意可得，
w=（x-500）（300-$\frac{x}{4}$）=$-\frac{1}{4}（x-850）^{2}+30625$，
∴當x=850時，w取得最大值，此時w=30625，
即當售價x定為850元/臺時，商場每月銷售這種空氣凈化器所獲得的利潤w（元）最大，最大利潤是30625元．

點評 本題考查二次函數的應用，解題的關鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件．