Question

1．已知二次函數y=x²+mx+m-2．
（1）求證：此二次函數的圖象與x軸總有兩個交點；
（2）如果此二次函數的圖象與x軸兩個交點的橫坐標之和等于3，求m的值．

Answer 1

分析 （1）利用一元二次方程根的判別式證明即可；
（2）解一元二次方程，求出二次函數的圖象與x軸兩個交點的橫坐標，根據題意列出算式，計算即可．

解答 （1）證明：∵a=1，b=m，c=m-2，
∴△=m²-4m+8，
=（m-2）²+4，
∵（m-2）²≥0，
∴（m-2）²+4＞0，
∴此二次函數的圖象與x軸總有兩個交點；
（2）解：令y=0，得x²+m x+m-2=0，
解得 x₁=$\frac{{-m+{{\sqrt{{{（{m-2}）}^2}+4}}^{\;}}}}{2}$，x₂=$\frac{{-m-{{\sqrt{{{（{m-2}）}^2}+4}}^{\;}}}}{2}$，
∵二次函數的圖象與x軸兩個交點的橫坐標之和等于3
∴-m=3，
解得，m=-3．

點評 本題考查的是拋物線與x軸的交點問題，掌握二次函數與一元二次方程的關系、理解一元二次方程根的判別式的應用是解題的關鍵．