Question

9．如圖，直線AG∥BK，AE、BE分別平分∠GAB、∠KBA，過點E的直線分別交直線AG、BK于C、D點．
（1）求證：BE⊥AE；
（2）請猜想：AB、AC、BD的數量關系，并證明你的猜想．

Answer 1

分析 （1）根據角平分線的性質和平行線的性質，可以得到∠BAE和∠ABE之間的關系，從而得到∠AEB的度數，從而可以證得結論；
（2）作輔助線在AB上截取AF=AC，畫出相應的圖形，然后根據題目中的信息，可以得到△EFB和△EDB的關系，從而可以得到BF和BD的關系，進而得到AB與AC、BD的關系．

解答 （1）證明：∵AG∥BK，
∴∠CAB+∠ABD=180°，
∵AE、BE分別平分∠GAB、∠KBA，
∴∠CAE=∠EAB=$\frac{1}{2}$∠CAB，∠ABE=∠EBD=$\frac{1}{2}$∠ABD，
∴∠EAB+∠ABE=90°，
∴∠AEB=90°，
即BE⊥AE；
（2）AB、AC、BD的數量關系是：AB=AC+BD；理由：
證明：在AB上截取AF=AC，如下如所示：

∵AE、BE分別平分∠GAB、∠KBA，
∴∠CAE=∠EAB=$\frac{1}{2}$∠CAB，∠ABE=∠EBD=$\frac{1}{2}$∠ABD，
在△CAE和△FAE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=AE}\\{∠CAE=∠FAE}\\{AC=AF}\end{array}\right.$，
∴△CAE≌△FAE（SAS）
∴∠CEA=∠FEA，
∵∠CEA+∠FEA+∠FEB+∠DFB=360°，BE⊥AE，
∴∠AEF+∠FEB=90°，∠CEA+∠DEB=90°，
∴∠FEB=∠DEB，
在△EFB和△EDB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠FBE=∠DBE}\\{BE=BE}\\{∠FEB=∠DEB}\end{array}\right.$，
∴△EFB≌△EDB（ASA），
∴BF=BD，
∵AC=AF，AB=AF+BF，
∴AB=AC+BD，
即AB、AC、BD的數量關系是：AB=AC+BD．

點評 本題考查全等三角形的判定與性質、角平分線的性質、角平分線的性質，解題的關鍵是明確題意找出所求問題需要的條件．