Question

【題目】如果一條直線把一個平面圖形的面積分成相等的兩部分，我們把這條直線稱為這個平面圖形的面積等分線．

問題探究

（1）如圖1，△ABC中，點M是AB邊的中點，請你過點M作△ABC的一條面積等分線；

（2）如圖2，在四邊形ABCD中，AD∥BC，CD⊥AD，AD＝2，CD＝4，BC＝6，點P是AB的中點，點Q在CD上，試探究當CQ的長為多少時，直線PQ是四邊形ABCD的一條面積等分線；

問題解決

（3）如圖3，在平面直角坐標系中，矩形ABCD是某公司將要籌建的花園示意圖，A與原點重合，D、B分別在x軸、y軸上，其中AB＝3，BC＝5，出入口E在邊AD上，且AE＝1，擬在邊BC、AB、CD、上依次再找一個出入口F、G、H，沿EF、GH修兩條筆直的道路（路的寬度不計）將花園分成四塊，在每一塊內各種植一種花草，并要求四種花草的種植面積相等．請你求出此時直線EF和GH的函數表達式．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）當CQ的長為1時，直線PQ是四邊形ABCD的一條面積等分線；（3）直線EF的解析式為y＝x﹣1，直線GH的解析式為y＝﹣x+．

【解析】

（1）連接CM，得出△ACM的面積＝△BCM的面積，得出CM是△ABC的一條面積等分線；

（2）連接PC，作AM⊥BC于M，PN⊥BC于N，則AM∥PN，四邊形AMCD是矩形，求出PN是△ABM的中位線，得出PN＝AM＝2，得出△BCP的面積＝6，由題意得出四邊形PBCQ的面積＝梯形ABCD的面積＝8，得出△PCQ的面積＝2＝CQ×CN＝CQ×4，解得CQ＝1即可；

（3）連接AC、BD交于點P，證明△PCF≌△PAE（ASA），得出CF＝AE＝1，BF＝5﹣1＝4，得出E（1，0），F（4，3），由待定系數法求出直線EF的解析式為y＝x﹣1；同理△BPG≌△DPH（ASA），得出BG＝DH，求出H（5，），G（0，），由待定系數法求出直線GH的解析式為y＝﹣x+．

解：（1）連接CM，如圖1所示：

∵點M是AB邊的中點，

∴△ACM的面積＝△BCM的面積，

∴CM是△ABC的一條面積等分線；

（2）當CQ的長為1時，直線PQ是四邊形ABCD的一條面積等分線；理由如下：

連接PC，作AM⊥BC于M，PN⊥BC于N，如圖2所示：

則AM∥PN，四邊形AMCD是矩形，

∴AM＝CD＝4，CM＝AD＝2，

∴BM＝BC﹣CM＝4，

∵點P是AB的中點，

∴PN是△ABM的中位線，

∴PN＝AM＝2，MN＝BM＝2，CN＝NM+CM＝4

∴△BCP的面積＝×6×2＝6，

∵梯形ABCD的面積＝（AD+BC）×CD＝（2+6）×4＝16，直線PQ是四邊形ABCD的一條面積等分線；

∴四邊形PBCQ的面積＝梯形ABCD的面積＝8，

∴△PCQ的面積＝8﹣6＝2＝CQ×CN＝CQ×4，

解得：CQ＝1，

即當CQ的長為1時，直線PQ是四邊形ABCD的一條面積等分線；

（3）連接AC、BD交于點P，如圖3所示：

∵EF、GH將花園分成四塊，且面積相等，

∴EF、GH經過點P，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴AD＝BC＝5，CD＝AB＝3，PA＝PC，AD∥BC，

∴∠PCF＝∠PAE，

在△PCF和△PAE中，，

∴△PCF≌△PAE（ASA），

∴CF＝AE＝1，BF＝5﹣1＝4，

∴E（1，0），F（4，3），

設直線EF的解析式為y＝kx+b，

把E（1，0），F（4，3）代入得：，

解得：，

∴直線EF的解析式為y＝x﹣1；

同理：△BPG≌△DPH（ASA），

∴BG＝DH，

由題意得：△PBG的面積＝△PAE的面積，

∴BG×＝×1×，

解得：BG＝，

∴DH＝BG＝，

∴H（5，），AG＝AB﹣BG＝，

∴G（0，），

設直線GH的解析式為y＝ax+c，

把G（0，），H（5，）代入得，

解得： ，

∴直線GH的解析式為y＝﹣x+．