Question

【題目】如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，E是AB邊上一點，D是AC邊上一點，且點D不與A、C重合，ED⊥AC．

（1）當sinB=時，

①求證：BE＝2CD.

②當△ADE繞點A旋轉到如圖2的位置時（45°＜∠CAD＜90°）．BE＝2CD是否成立？若成立，請給出證明；若不成立．請說明理由．

（2）當sinB=時，將△ADE繞點A旋轉到∠DEB＝90°，若AC＝10，AD＝2，求線段CD的長．

Answer 1

【答案】（1）①證明見解析；②BE＝2CD成立.理由見解析；（2）2或4．

【解析】

（1）①作EH⊥BC于點H，由sinB=可得∠B=30°，∠A=60°，根據ED⊥AC可證明四邊形CDEH是矩形，根據矩形的性質可得EH=CD，根據正弦的定義即可得BE＝2CD；

②根據旋轉的性質可得∠BAC＝∠EAD，利用角的和差關系可得∠CAD＝∠BAE，根據=可證明△ACD∽△ABE，及相似三角形的性質可得，進而可得BE=2CD；

（2）由sinB=可得∠ABC＝∠BAC＝∠DAE＝45°，根據ED⊥AC可得AD＝DE，AC＝BC，如圖，分兩種情況討論，通過證明△ACD∽△ABE，求出CD的長即可.

（1）①作EH⊥BC于點H，

∵Rt△ABC中，∠C＝90°，sinB=，

∴∠B=30°，

∴∠A=60°，

∵ED⊥AC

∴∠ADE＝∠C＝90°，

∴四邊形CDEH是矩形，即EH=CD.

∴在Rt△BEH中，∠B=30°

∴BE＝2EH

∴BE＝2CD.

②BE＝2CD成立．

理由：∵△ADE繞點A旋轉到如圖2的位置，

∴∠BAC＝∠EAD＝60°，

∴∠BAC+∠BAD=∠EAD+∠BAD，即∠CAD＝∠BAE，

∵AC：AB＝1：2，AD：AE＝1：2，

∴，

∴△ACD∽△ABE，

∴，

又∵Rt△ABC中，＝2，

∴＝2，即BE＝2CD.

（2）∵sinB=，

∴∠ABC＝∠BAC＝∠DAE＝45°，

∵ED⊥AC，

∴∠AED＝∠BAC＝45°，

∴AD＝DE，AC＝BC，

將△ADE繞點A旋轉，∠DEB＝90°，分兩種情況：

①如圖所示，過A作AF⊥BE于F，則∠F＝90°，

當∠DEB＝90°時，∠ADE＝∠DEF＝90°，

又∵AD＝DE，

∴四邊形ADEF是正方形，

∴AD＝AF＝EF＝2，

∵AC＝10＝BC，

∴AB＝10，

∴Rt△ABF中，BF＝＝6，

∴BE＝BF﹣EF＝4，

又∵△ABC和△ADE都是直角三角形，

且∠BAC＝∠EAD＝45°，

∴∠CAD＝∠BAE，

∵AC：AB＝1：，AD：AE＝1：，

∴，

∴△ACD∽△ABE，

∴＝，即＝，

∴CD＝2；

②如圖所示，過A作AF⊥BE于F，則∠AFE＝∠AFB＝90°，

當∠DEB＝90°，∠DEB＝∠ADE＝90°，

又∵AD＝ED，

∴四邊形ADEF是正方形，

∴AD＝EF＝AF＝2，

又∵AC＝10＝BC，

∴AB＝10，

∴Rt△ABF中，BF＝＝6，

∴BE＝BF+EF＝8，

又∵△ACD∽△ABE，

∴＝，即＝，

∴CD＝4，

綜上所述，線段CD的長為2或4．