Question

矩形OABC的頂點A(-8，0)、C(0，6) ，點D是BC邊上的中點，拋物線經過A、D兩點，如圖所示．

1.求點D關于y軸的對稱點的坐標及a、b的值；

 2.在y軸上取一點P, 使PA+PD長度最短, 求點P的坐標；

 3.將拋物線向下平移,記平移后點A的對應點為，點D的對應點為，當拋物線平移到某個位置時，恰好使得點O是y軸上到兩點距離之和最短的一點，求此拋物線的解析式．

 

Answer 1

 

1.（1）由矩形的性質可知：B（-8，6）

∴D（-4，6）； 點D關于y軸對稱點D′（4，6）

將A（-8，0）、D（-4，6）代入，得：

；     

2.設直線AD′的解析式為，則：

    ∴     解得：      

∴直線與y軸交于點（0，4），所以點P（0，4）

3.解法1：由于OP＝4，故將拋物線向下平移4個單位時，有OA₁+OD₁最短；

      ∴  ，即此時的解析式為；

解法2：設拋物線向下平移了m個單位，則A₁（-8，-m），D₁（-4，6-m），

∴

令直線為；

∵點O為使OA₁+OD₁最短的點，∴ ∴m=4，

即將拋物線向下平移了4個單位；

∴ ，即此時的解析式為.

解析:略