Question

20．如圖，在平面直角坐標系xOy中，直線y=-2x+a與y軸交于點C （0，6），與x軸交于點B．
（Ⅰ）求這條直線的解析式；
（Ⅱ）直線AD與（Ⅰ）中所求的直線相交于點D（-1，n），點A的坐標為（-3，0）．
①求n的值及直線AD的解析式；
②求△ABD的面積；
③點M是直線AD上的一點（不與點D重合），且點M的橫坐標為m，求△DBM的面積S與m之間的關系式．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由點C在直線BC上，利用一次函數圖象上點的坐標特征求出a值即可得出結論；
（Ⅱ）①將x=-1代入直線BC上即可求出n值，由此即可得出點D的坐標，由點A、D的坐標利用待定系數法即可求出直線AD的解析式；
②令直線BC的解析式中y=0求出x值，由此即可得出點B的坐標，再由點A、D的坐標，利用三角形的面積公式即可得出結論；
③過點M作ME∥x軸，交BD于點E，由點M的橫坐標即可得出點M、E的坐標，進而可得出線段ME的長度，再利用三角形的面積公式結合點B、D的縱坐標即可得出△DBM的面積S與m之間的關系式．

解答 解：（Ⅰ）∵直線y=-2x+a與y軸交于點C （0，6），
∴a=6，
∴該直線解析式為y=-2x+6．
（Ⅱ）①∵點D（-1，n）在直線BC上，
∴n=-2×（-1）+6=8，
∴點D（-1，8）．
設直線AD的解析式為y=kx+b，
將點A（-3，0）、D（-1，8）代入y=kx+b中，
得：$\left\{\begin{array}{l}{0=-3k+b}\\{8=-k+b}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=4}\\{b=12}\end{array}\right.$，
∴直線AD的解析式為y=4x+12．
②令y=-2x+6中y=0，則-2x+6=0，解得：x=3，
∴點B（3，0）．
∵A（-3，0）、D（-1，8），
∴AB=6．
S_△ABD=$\frac{1}{2}$AB•y_D=$\frac{1}{2}$×6×8=24．
③過點M作ME∥x軸，交BD于點E，如圖所示．
∵點M是直線AD上的一點（不與點D重合），且點M的橫坐標為m，
∴M（m，4m+12）（m≠-1），E（-2m-3，4m+12），
∴ME=|m-（-2m-3）|=3|m+1|．
∴S_△DBM=$\frac{1}{2}$ME•（y_D-y_B）=12|m+1|，
∴S=$\left\{\begin{array}{l}{12m+12（m＞-1）}\\{-12m-12（m＜-1）}\end{array}\right.$．

點評 本題考查了一次函數圖象上點的坐標特征、待定系數法求函數解析式以及三角形的面積公式，解題的關鍵是：（Ⅰ）利用點在直線上，求出a值；（Ⅱ）①利用待定系數法求出直線AD的解析式；②③利用三角形的面積公式求值．