Question

15．吳老師在與同學們進行“螞蟻怎樣爬最近”的課題研究時設計了以下問題，請你根據下列所給的條件分別求出螞蟻需要爬行的最短路程的長．
（1）如圖1，正方體的棱長為5cm，一只螞蟻欲從正方體底面上的點A沿正方體表面爬到點C₁處；
（2）如圖2，長方體底面是邊長為5cm的正方形，高為6cm，一只螞蟻欲從長方體底面上的點A沿長方體表面爬到點C₁處．

Answer 1

分析 （1）將正方體展開，連接AC₁，即可求得最短路徑的長；
（2）將長方體展開，得到兩個結果，取其值最小者；

解答 解：（1）如圖，AC₁=$\sqrt{{D}_{1}{A}^{2}+{C}_{1}{{D}_{1}}^{2}}$=$\sqrt{1{0}^{2}+{5}^{2}}$=5 $\sqrt{5}$cm．

∴一只螞蟻欲從正方體底面上的點A沿正方體表面爬到點C₁處，最短路程的長為5$\sqrt{5}$cm．

（2）分兩種情況：
①如圖，AC₁=$\sqrt{（5+5）^{2}+{6}^{2}}$=2 $\sqrt{34}$；

②如圖，AC₁=$\sqrt{（6+5）^{2}+{5}^{2}}$=$\sqrt{146}$．
，
因為 $\sqrt{146}$＞2 $\sqrt{34}$，
所以最短路程為2 $\sqrt{34}$cm．

點評 此題考查了平面展開---最短路徑問題、勾股定理等知識，解題的關鍵是將立體圖形展開為平面圖形，構造直角三角形解決問題，屬于中考�？碱}型．