Question

【題目】如圖甲，在△ABC中，∠ACB為銳角，點D為射線BC上一動點，連接AD，以AD為一邊且在AD的右側作正方形ADEF．解答下列問題：
（1）如果AB=AC，∠BAC=90°， ①當點D在線段BC上時（與點B不重合），如圖乙，線段CF、BD之間的位置關系為 ， 數量關系為 ．
②當點D在線段BC的延長線上時，如圖丙，①中的結論是否仍然成立，為什么？

（2）如果AB≠AC，∠BAC≠90°點D在線段BC上運動．試探究：當△ABC滿足一個什么條件時，CF⊥BC（點C、F重合除外）？并說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）垂直；相等；解：成立，理由如下： ∵∠FAD=∠BAC=90°
∴∠BAD=∠CAF
在△BAD與△CAF中，
∵
∴△BAD≌△CAF（SAS）
∴CF=BD，∠ACF=∠ACB=45°，
∴∠BCF=90°
∴CF⊥BD
（2）解：當∠ACB=45°時可得CF⊥BC，理由如下：

過點A作AC的垂線與CB所在直線交于G

則∵∠ACB=45°

∴AG=AC，∠AGC=∠ACG=45°

∵AG=AC，AD=AF，

∵∠GAD=∠GAC﹣∠DAC=90°﹣∠DAC，∠FAC=∠FAD﹣∠DAC=90°﹣∠DAC，

∴∠GAD=∠FAC，

∴△GAD≌△CAF（SAS）

∴∠ACF=∠AGD=45°

∴∠GCF=∠GCA+∠ACF=90°

∴CF⊥BC

【解析】解：（1）①CF⊥BD，CF=BD 所以答案是：垂直、相等．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解等腰三角形的性質的相關知識，掌握等腰三角形的兩個底角相等（簡稱：等邊對等角），以及對正方形的性質的理解，了解正方形四個角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角；正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形；正方形的對角線與邊的夾角是45o；正方形的兩條對角線把這個正方形分成四個全等的等腰直角三角形．