Question

已知二次函數圖象的頂點在原點O，對稱軸為y軸．一次函數y=kx+1的圖象與二次函數的圖象交于A，B兩點（A在B的左側），且A點坐標為（-4，4），平行于x軸的直線l過（0，-1）點。
（1）求一次函數與二次函數的解析式；
（2）判斷以線段AB為直徑的圓與直線的位置關系，并給出證明；
（3）把二次函數的圖象向右平移2個單位，再向下平移t個單位（t > 0），二次函數的圖象與x軸交于M，N兩點，一次函數圖象交y軸于F點．當t為何值時，過F，M，N三點的圓的面積最小？最小面積是多少？

Answer 1

解：（1）一次函數的解析式為；                
二次函數解析式為．                     
（2）由解得或，，        
過點分別作直線的垂線，垂足為，
則，
直角梯形的中位線長為，

過作垂直于直線于點，則，，
，
∴的長等于中點到直線的距離的2倍，
∴以為直徑的圓與直線相切．
（3）平移后二次函數解析式為，
令y=0，得，，，
∵過F，M，N三點的圓的圓心一定在直線x=2上，點為定點，
∴要使圓面積最小，圓半徑應等于點到直線的距離，半徑為2，面積為，
設圓心為C，MN中點為，連CE，CM，則，  
在三角形中，，
，而，
，   
 當時，過F，M，N三點的圓面積最小，最小面積為．