Question

已知二次函數圖象的頂點在原點O，對稱軸為y軸．一次函數y=kx+1的圖象與二次函數的圖象交于A，B兩點（A在B的左側），且A點坐標為（-4，4）．平行于x軸的直線l過（0，-1）點．
（1）求一次函數與二次函數的解析式；
（2）判斷以線段AB為直徑的圓與直線l的位置關系，并給出證明；
（3）把二次函數的圖象向右平移2個單位，再向下平移t個單位（t＞0），二次函數的圖象與x軸交于M，N兩點，一次函數圖象交y軸于F點．當t為何值時，過F，M，N三點的圓的面積最小？最小面積是多少？

Answer 1

分析：（1）設二次函數的解析式是y=ax²，把A（-4，4）代入求出a代入一次函數求出k，即可得到答案；
（2）求出B、O的坐標，求出OA和O到直線y=-1的距離即可得出答案；
（3）作MN的垂直平分線，△FMN外接圓的圓心O在直線上，求出MN、DN，根據勾股定理求出O'F=O'N的圓心坐標的縱坐標Y，求出y取何值時r最小，即可求出答案．

解答：解：（1）設二次函數的解析式是y=ax²（a≠0），
把A（-4，4）代入得：4=16a，
a=

1

4

，
∴y=

1

4

x²，
把A（-4，4）代入y=kx+1得：4=-4k+1，
∴k=-

3

4

，
∴y=-

3

4

x+1，
答：一次函數與二次函數的解析式分別為y=-

3

4

x+1，y=

1

4

x²．

（2）答：以線段AB為直徑的圓與直線l的位置關系是相切．
證明：

y=- 3 4 x+1 y= 1 4 x2

得：

x1=-4 y1=4

，

x2=1 y2= 1 4

，
∴B（1，

1

4

），
AB的中點O的坐標是（-

3

2

，

17

8

），
OA=

(-4+ 3 2 )2+(4- 17 8 )2

=

25

8

，
O到直線y=-1的距離是

17

8

+1=

25

8

=0B，
∴以線段AB為直徑的圓與直線l的位置關系是相切．

（3）解：作MN的垂直平分線，△FMN外接圓的圓心O在直線上，
由于平移后的拋物線對稱軸為x=2，對稱軸交x軸于D，
F（0，1），平移后二次函數的解析式是y=

1

4

（x-2）²-t，即y=

1

4

x²-x+1-t，
當y=0時，

1

4

x²-x+1-t=0，
設M（e，0），N（f，0），N在M的右邊，
則e+f=-

-1

1 4

=4，e•f=

1-t

1 4

=4-4t，
∴MN=f-e=

(f+e)2-4ef

=4

t

，
MD=2

t

，
設圓心坐標（2，y），根據OF=ON，
∴

22+(y-1)2

=

y2+(2 t )2

，
y=

5

2

-2t，
r=

22+(y-1)2

=

(2t- 3 2 )2+4

，
當t=

3

4

時，半徑有最小值2，圓面積最小為4π，
答：當t為

3

4

時，過F，M，N三點的圓的面積最小，最小面積是4π．

點評：本題主要考查對用待定系數法求二次函數、一次函數的解析式，勾股定理，二次函數的最值，直線與圓的位置關系，解二元二次方程組等知識點的理解和掌握，能綜合運用這些性質進行計算是解此題的關鍵．