Question

已知二次函數圖象的頂點在原點O，對稱軸為y軸．一次函數y=kx+1的圖象與二次函數的圖象交于A,B兩點（A在B的左側），且A點坐標為(-4,4)．平行于x軸的直線過(0,-1)點．

（1）求一次函數與二次函數的解析式；

（2）判斷以線段AB為直徑的圓與直線的位置關系，并給出證明；

（3）把二次函數的圖象向右平移2個單位，再向下平移t個單位(t>0)，二次函數的圖象與x軸交于M,N兩點，一次函數圖象交y軸于F點．當t為何值時，過F,M,N三點的圓的面積最小？最小面積是多少？

Answer 1

解：（1）把A(-4,4)代入y=kx+1得，

∴一次函數的解析式為；

∵二次函數圖象的頂點在原點，對稱軸為y軸，

∴設二次函數解析式為，

把A(-4,4)代入得，

∴二次函數解析式為．

（2）由

解得或，

∴，

過A,B點分別作直線的垂線，垂足為A′,B′，

則AA′=4+1=5,，

∴直角梯形的中位線長為，

過B作BH垂直于直線于點H，則，，

∴，

∴AB的長等于AB中點到直線的距離的2倍，

∴以AB為直徑的圓與直線相切．

（3）平移后二次函數解析式為，

令y=0，得(x-2)²-t=0，，

∵過F,M,N三點的圓的圓心一定在直線x=2上，點F為定點，

∴要使圓面積最小，圓半徑應等于點F到直線x=2的距離，

此時，半徑為2，面積為4π，

設圓心為C,MN中點為E，連CE,CM，則CE=1，

在三角形CEM中，，

∴，而，∴t=3，

∴當t=3時，過F,M,N三點的圓面積最小，最小面積為4π．