Question

已知二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)在原點(diǎn)O，對稱軸為y軸．一次函數(shù)y=kx+1的圖象與二次函數(shù)的圖象交于A，B兩點(diǎn)（A在B的左側(cè)），且A點(diǎn)坐標(biāo)為（-4，4）．平行于x軸的直線l過（0，-1）點(diǎn)．
（1）求一次函數(shù)與二次函數(shù)的解析式；
（2）判斷以線段AB為直徑的圓與直線l的位置關(guān)系，并給出證明；
（3）把二次函數(shù)的圖象向右平移2個(gè)單位，再向下平移t個(gè)單位（t＞0），二次函數(shù)的圖象與x軸交于M，N兩點(diǎn)，一次函數(shù)圖象交y軸于F點(diǎn)．當(dāng)t為何值時(shí)，過F，M，N三點(diǎn)的圓的面積最小，最小面積是多少？

Answer 1

分析：（1）已知了一次函數(shù)的圖象經(jīng)過A點(diǎn)，可將A點(diǎn)的坐標(biāo)代入一次函數(shù)中，即可求出一次函數(shù)的解析式．
由于拋物線的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，因此可設(shè)其解析式為y=ax²，直接將A點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線中即可求出拋物線的解析式．
（2）求直線與圓的位置關(guān)系需知道圓心到直線的距離和圓的半徑長．由于直線l平行于x軸，因此圓心到直線l的距離為1．因此只需求出圓的半徑，也就是求AB的長，根據(jù)（1）中兩函數(shù)的解析式即可求出B點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)即可求出AB的長．然后判定圓的半徑與1的大小關(guān)系即可．
（3）先設(shè)出平移后拋物線的解析式，不難得出平移后拋物線的對稱軸為x=2．因此過F，M，N三點(diǎn)的圓的圓心必在直線x=2上，要使圓的面積最小，那么圓心到F點(diǎn)的距離也要最小（設(shè)圓心為C），即F，C兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)相同，因此圓的半徑就是2．C點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，1）（可根據(jù)一次函數(shù)的解析式求出F點(diǎn)的坐標(biāo)）．可設(shè)出平移后的拋物線的解析式，表示出MN的長，如果設(shè)對稱軸與x軸的交點(diǎn)為E，那么可表示出ME的長，然后在直角三角形MEC中根據(jù)勾股定理即可確定平移的距離．即t的值．（也可根據(jù)C點(diǎn)的坐標(biāo)求出M，N點(diǎn)的坐標(biāo)，然后用待定系數(shù)法求出平移后的拋物線的解析式，經(jīng)過比較即可得出平移的距離，即t的值）．

解答：解：（1）把A（-4，4）代入y=kx+1
得k=-

3

4

，
∴一次函數(shù)的解析式為y=-

3

4

x+1；
∵二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對稱軸為y軸，
∴設(shè)二次函數(shù)解析式為y=ax²，
把A（-4，4）代入y=ax²
得a=

1

4

，
∴二次函數(shù)解析式為y=

1

4

x²．

（2）由

y=- 3 4 x+1 y= 1 4 x2

解得

x=-4 y=4

或

x=1 y= 1 4

，
∴B(1，

1

4

)，
過A，B點(diǎn)分別作直線l的垂線，垂足為A'，B'，
則AA′=4+1=5，BB′=

1

4

+1=

5

4

．
∴直角梯形AA'B'B的中位線長為

5+ 5 4

2

=

25

8

，
過B作BH垂直于直線AA'于點(diǎn)H，
則BH=A'B'=5，AH=4-

1

4

=

15

4

，
∴AB=

52+( 15 4 )2

=

25

4

，
∴AB的長等于AB中點(diǎn)到直線l的距離的2倍，
∴以AB為直徑的圓與直線l相切．

（3）平移后二次函數(shù)解析式為y=

1

4

（x-2）²-t，
令y=0，得

1

4

（x-2）²-t=0，x₁=2-2

t

，x₂=2+2

t

，
∵過F，M，N三點(diǎn)的圓的圓心一定在平移后拋物線的對稱軸上，點(diǎn)C為定點(diǎn)，B要使圓面積最小，圓半徑應(yīng)等于點(diǎn)F到直線x=2的距離，
此時(shí)，半徑為2，面積為4π，
設(shè)圓心為C，MN中點(diǎn)為E，連CE，CM，則CE=1，
在△CEM中，ME=

22-1

=

3

，
∴MN=2

3

，而MN=|x₂-x₁|=4

t

，
∴t=

3

4

，
∴當(dāng)t=

3

4

時(shí)，過F，M，N三點(diǎn)的圓面積最小，最小面積為4π．

點(diǎn)評：本題著重考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、二次函數(shù)的平移等知識點(diǎn)，綜合性強(qiáng)考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法．