Question

已知整數a，b滿足|a-b|+（a+b）²=p，且p是質數，則符合條件的整數（　�。�

• A、5對
• B、6對
• C、7對
• D、8對

Answer 1

分析：當a，b為整數時，a+b與a-b同奇偶，所以|a+b|+（a-b）²=P必為偶數．在質數中，唯一的偶質數只有2一個，故P=2．然后利用非負數的性質討論即可得到a、b的取值，接著就可以解決問題．

解答：解：∵整數a，b滿足|a-b|+（a+b）²=p，
而a+b與a-b同奇偶，
∴|a-b|與（a+b）²同奇偶，
∴|a+b|+（a-b）²=P必為偶數．
在質數中，唯一的偶質數只有2一個，
故P=2．
則|a+b|+（a-b）²=2，
∵任何整數的平方最小是0，然后是1，4，9…，
∴此處的（a-b）²只有0和1兩個選擇：
①當（a-b）²=0，則|a+b|=2，
解得：a=b，所以|2b|=2，|b|=1，則a=b=±1；
②（a-b）²=1，則|a+b|=1，
解得：a-b=±1，a+b=±1，
組成4個方程組：
 

a-b=1 a+b=1

，
解之得：a=1，b=0；

a-b=1 a+b=-1

，
解之得：a=0，b=-1；

a-b=-1 a+b=1

，
解之得：a=0，b=1；

a-b=-1 a+b=-1

，
解之得：a=-1，b=0．
∴符合條件的整數對（a，b）共有6對：（1，1），（-1，-1），（1，0），（0，-1），（0，1），（-1，0）．
故選B．

點評：本題主要考查了質數與合數的性質，解題時首先利用偶質數2的性質得到關于a、b的方程組，然后解方程組即可求解．