Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，己知二次函數的圖像與y軸交于點B(0， 4)，與x軸交于點A(－1，0)和點D．

(1)求二次函數的解析式；

(2)求拋物線的頂點和點D的坐標；

(3)在拋物線上是否存在點P，使得△BOP的面積等于？如果存在，請求出點P的坐標？如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）D的坐標為（3，0），頂點坐標為（1，）；（3）滿足條件的點P有兩個，坐標分別為P1(，)、P2()．

【解析】

（1）利用待定系數法求出二次函數解析式即可；
（2）根據二次函數的解析式得點D的坐標，將解析式化為頂點式可得頂點的坐標；
（3）設P的坐標為P（x，y），到y軸的距離為|x|，則S△BOP=BO|x|，解出x=±，進而得出P點坐標．

解：(1)把點A(－1，0)和點B(0， 4)代入二次函數中得：

解得：

所以二次函數的解析式為： ；

（2）根據（1）得點D的坐標為（3，0），

=，

∴頂點坐標為（1，）；

(3)存在這樣的點P，設P的坐標為P(x，y)，到y軸的距離為∣x∣

∵ S△BOP＝BO∣x∣

∴＝×4∣x∣

解得：∣x∣＝所以x＝±

把x＝代入中得：

即：y＝，

把x＝－代入中得：

即：y＝－

∴滿足條件的點P有兩個，坐標分別為P1(，)、P2()．