Question

【題目】如圖，點A，點B分別在y軸，x軸上，OA＝OB，點E為AB的中點，連接OE并延長交反比例函數y＝（x＞0）的圖象于點C，過點C作CD⊥x軸于點D，點D關于直線AB的對稱點恰好在反比例函數圖象上，則OE﹣EC＝_____．

Answer 1

【答案】

【解析】

由題意可得直線OC的解析式為y＝x，設C（a，a），由點C在反比例函數y＝（x＞0）的圖象上，求得C（1，1），求得D的坐標，根據互相垂直的兩條直線斜率之積為﹣1，可設直線AB的解析式為y＝﹣x+b，則B（b，0），BD＝b﹣1．由點D和點F關于直線AB對稱，得出BF＝DB＝b﹣1，那么B（b，b﹣1），再將F點坐標代入y＝，得到b（b﹣1）＝1，解方程即可求得B的坐標，然后通過三角形相似求得OE，根據OE﹣EC＝OE﹣（OC﹣OE）＝2OE﹣OC即可求得結果．

解：∵點A，點B分別在y軸，x軸上，OA＝OB，點E為AB的中點，

∴直線OC的解析式為y＝x，

設C（a，a），

∵點C在反比例函數y＝（x＞0）的圖象上，

∴a2＝1，

∴a＝1，

∴C（1，1），

∴D（1，0），

∴設直線AB的解析式為y＝﹣x+b，則B（b，0），BD＝b﹣1．

∵點B和點F關于直線AB對稱，

∴BF＝BD＝b﹣1，

∴F（b，b﹣1），

∵F在反比例函數y＝的圖象上，

∴b（b﹣1）＝1，

解得b1＝，b2＝（舍去），

∴B（，0），

∵C（1，1），

∴OD＝CD＝1，

∴OC＝，

易證△ODC∽△OEB，

∴，即，

∴OE＝，

∴OE﹣EC＝OE﹣（OC﹣OE）＝2OE﹣OC＝﹣＝．

故答案為．