Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB=AC，以AC為直徑的⊙O與BC相交于點D，過點D作⊙O的切線與AB相交于點E．

（1）求證：DE⊥AB；

（2）若BE=2，BC=6，求⊙O的直徑．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）⊙O的直徑為．

【解析】

（1）連接AD，OD，得出AD⊥BC，再根據AB=AC得出BD=CD，得出OD是三角形ABC的中位線，從而得出OD∥AB，從而得證；

（2）根據BE=2，BC=6得出,易證△AED∽△ADC，AEa，AD=3a，解直角三角形AED得出a的值，從而求算AB，算出直徑．

（1）連接AD，OD．

∵AC是⊙O的直徑，

∴AD⊥BC．

∵AB=AC，

∴BD=CD．

∵AO=CO，

∴OD∥AB，

∴DE⊥AB；

（2）∵DE⊥AB，

∴∠BED=∠AED=90°．

∵BE=2，BC=6，

∴BD=CD=3，

∴DE，

∵∠AED=∠ADC=90°，∠BAD=∠CAD，

∴△AED∽△ADC，

∴，

設AEa，AD=3a．

∵AE2+DE2=AD2，

∴5a2+5=9a2，

∴a(負值舍去)，

∴AE，

∴AB=AE+BE，

∴⊙O的直徑為．