Question

如圖，已知正方形ABCD的邊長為1，G為CD邊上的一個動點（點G與C、D不重合），以CG為一邊向正方形ABCD外作正方形GCEF，連接DE交BG的延長線于點H.

（1）求證：①△BCG≌△DCE；②BH⊥DE.
（2）當點G運動到什么位置時，BH垂直平分DE？請說明理由.

Answer 1

（1）見解析  （2）當時，垂直平分，分析即可求得：時，垂直平分

分析:（1）由四邊形和四邊形是正方形，根據正方形的性質，即可得，，∠∠90°，則可根據SAS證得①△≌△；然后根據全等三角形的對應角相等，求得∠∠90°，則可得②⊥．
（2）當時，垂直平分，分析即可求得：時，垂直平分．
（1）證明：①∵ 四邊形和四邊形是正方形，
∴，，∠∠90°， 
∴△≌△（SAS）.
②∵△≌△，∴∠∠
又∠∠90°，
∴∠∠90°，
∴∠90°，∴⊥．
（2）解：當時，H垂直平分
理由：如圖，連接，

∵ 四邊形和四邊形是正方形，
∴∠90°，1，∴.
∵，∴，∴.
∵⊥，∴，∴垂直平分E，
∴ 當時，垂直平分．