Question

18．在直角坐標系xOy中（如圖），拋物線y=ax²-4ax+4a+3（a＜0）的頂點為D，它的對稱軸與x軸交點為M．
（1）求點D、點M的坐標；
（2）如果該拋物線與y軸的交點為A，點P在拋物線上且AM∥DP，AM=2DP，求a的值．

Answer 1

分析 （1）由y=ax²-4ax+4a+3=a（x-2）²+3，可得頂點D（2，3），M（2，0）．
（2）作PN⊥DM于N．由△PDN∽△MAO，得$\frac{PN}{OM}$=$\frac{DN}{OA}$=$\frac{PD}{AM}$=$\frac{1}{2}$，因為OM=2，OA=-4a-3，PN=1，所以P（1，a+3），DN=-a，根據OA=2DN，可得方程-4a-3=-2a，由此即可解決問題．

解答 解：（1）∵y=ax²-4ax+4a+3=a（x-2）²+3，
∴頂點D（2，3），M（2，0）．

（2）作PN⊥DM于N．
∵AM∥DP，
∴∠PDN=∠AMG，
∵DG∥OA，
∴∠OAM=∠AMG=∠PDN，
∵∠PND=∠AOM=90°，
∴△PDN∽△MAO，
∴$\frac{PN}{OM}$=$\frac{DN}{OA}$=$\frac{PD}{AM}$=$\frac{1}{2}$，
∵OM=2，OA=-4a-3，PN=1，
∴P（1，a+3），
∴DN=-a，
∵OA=2DN，
∴-4a-3=-2a，
∴a=-$\frac{3}{2}$．
當點A在y的正半軸上時，如圖，
∴△PDN∽△MAO，
∴$\frac{PN}{OM}$=$\frac{DN}{OA}$=$\frac{PD}{AM}$=$\frac{1}{2}$，
∵OM=2，OA=4a+3，PN=1，
∴P（3，a+3），
∴DN=-a，
∵OA=2DN，
∴4a+3=-2a，
∴a=-$\frac{1}{2}$，
綜上所述，滿足條件的a的值為-$\frac{1}{2}$或-$\frac{3}{2}$．

點評 本題考查拋物線與x軸的交點、相似三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，學會利用相似三角形的性質解決問題，用方程的思想思考問題，屬于中考常考題型．